落日間鏈接：David Hestenes 牛頓世界中的建模遊戲 Modeling games in the Newtonian World
譯按
我已經忘記我是何時且在何處看到，並在待譯列表中加入這篇文章的，這篇奇特的文章將物理學研究/甚至所有的科學研究看作一種「建模遊戲（Modeling games）」的過程，並且將其作為物理學教育理論基礎的整體介紹（包括建構主義的哲學基礎，以牛頓世界為例子，以牛頓《原理》的創作為考察，以教育問題為出發點和應用點，與國際象棋做比較的學習和天賦問題的過程）。
依舊在此，我們遭遇到了之前我所提到的類似的問題，文中提到的「像小球、飛盤和超級球這樣的玩具的驚人行為」，以及遊戲/規則的修辭使用，國際象棋之於科學研究的「比喻」和對照又出現了，在做翻譯時我總是不斷地想起很多物理學和數學的遊戲，包括《Euclidea》（尺規作圖完成《幾何原本》），《The Powder Toy》。
我想，倘若不站在一個「大部分當前遊戲」的視角思考，而是從一個創作者的「可以有/做出怎樣的遊戲」的視角來看，這些事物是否能夠真的成為具體的遊戲，遊戲與對自然的科學研究中的關係是什麼？為何其中都有某種費曼描述為「simple in pattern - complicated in action」的美和優雅？解謎遊戲與科學研究建模遊戲過程的邊界在哪裡呢，這是我正在進行的工作中（書的寫作）遇到的關鍵之一。
除了對自然研究的科學和遊戲之間的對照之外，本文對於教育-遊戲的反思過程也頗有趣，對照了國際象棋的學習，精進和欣賞過程與物理學教育之間的視角，並且期待能夠讓學生的物理學的「遊戲和鑑賞」水平能夠達到如國際象棋大師的那般。這可能是一次非常早期的，對遊戲和學習關係的某種有趣考察（包括對模式識別的強調，遊戲設計這部分的討論可參考 Raph Koster: A Theory of Fun for Game Design）。
而從這種假設出發，我們也能夠打開對於科學（科普遊戲）的設計，思考，製作的一條裂隙，或許在這個意義上，最好的科學遊戲與研究並無差別，都是在學生的頭腦中重新創造出科學的遊戲的過程，或許遊戲（無論是比喻還是具體的遊戲），能給到學生腦海中對於科學家的概念世界的認知，以及在遊玩過程中，對上下文的領會，因為學習的過程就是創制（poiesis），也就是遊戲，就像文中提及的費曼的忠告那樣：對於我不能創造的東西，我就無法理解。
PS：或許對萬有引力定律的發現之前的，從第谷·布拉赫到開普勒，再到伽利略的這段著名的歷史有所瞭解，會對此文的內容有所幫助，或許可以參考著名的物理學家費曼《物理定律的本性》講座的第一場《萬有引力定律——物理定律的範例》。
落日間
葉梓濤
David Hestenes
戴維·赫斯特內斯（David Hestenes，生於1933年5月21日）是一位理論物理學家和科學教育家。他在加州大學洛杉磯分校獲得博士學位，論文題目是《幾何微積分與基本粒子》，普林斯頓大學的博士後，並作為數學和物理統一語言的幾何代數的首席設計師，以及建模教學（Modelling Instruction）的創始人而聞名。建模教學是一個基於研究的項目，旨在改革 k-12科學、技術、工程和數學（STEM）教育。他在亞利桑那州立大學（ASU）的物理和天文系工作了30多年，現在是名譽退休教授。
自1980年以來，赫斯特內斯一直在發展科學與認知的建模理論，特別是指導科學教學的設計。該理論對構成科學內容核心的概念模型和理解科學所必需的心智模型有明確區分。建模教學的目的是讓學生參與建模的各個方面，廣義上被認為是構建、測試、分析和應用科學模型。為了評估建模教學的有效性，赫斯特內斯和他的學生開發了力概念量表（Force Concept Inventory），一個評估學生對入門物理理解的工具。
經過10年的教育研究，赫斯特內斯發展和驗證了這個方法，獲得了國家科學基金會的另一個10年資助，將建模教學計劃推廣到全國。截至2011年，已有4000多名教師參加了關於建模的夏季講習班，其中包括近10%的美國高中物理教師。據估計，每年有超過10萬名學生接觸建模方法的老師。
該項目的一個成果是，教師們創建了自己的非盈利組織——美國建模教師協會（AMTA），在政府資助終止後繼續並擴大這項使命。AMTA已經擴展為一個全國性的教師社區，致力於解決國家的科學、技術、工程和數學（STEM）教育危機。建模項目的另一個成果是在亞利桑那州立大學為STEM教師的持續專業發展創建了一個研究生項目。這為全國大學的類似項目提供了一個經過驗證的模型。
本文發佈於《美國物理學雜誌》 American Journal of Physics 60, 732 (1992); Physics Department, Arizona State University,Tempe,Arizona 85287 (Received 9 September 1991; accepted 19 March 1992) 後續相關的文章還有，《用於學習和做物理的建模軟件》（Modeling Software for learning and doing physics）
原文鏈接：點擊跳轉
翻譯：葉梓濤
限於時間與能力，本文中的圖片未全部翻譯，物理學或數學專有名詞可能不準確，還請多多指正，必要時請參照原文。
牛頓世界中的建模遊戲
Modeling games in the Newtonian World
David Hestenes
摘要 Abstract
牛頓力學（Newtonian mechanics）的基本原理可以被闡述為定義了一系列建模遊戲的規則體系。這些遊戲的共同目標是為物理現象建立有效的模型。這是一個有前景的物理教學新方法的起點，在這個方法中，學生從一開始就被告知，在科學中「建模就是最關鍵的」（建模就是遊戲之名 modeling is the name of the game）」。其主要思想是教授一套明確的建模原則與技術，讓學生熟悉一套基本的物理模型，並讓他們在建立模型、通過實驗驗證模型，以及和有效運用模型以解釋、預測和描述物理現象方面有大量的實踐。不幸的是，要完全實施這種方法，需要對標準的教學材料進行重大改革，而這一點尚未完成。這篇文章闡述了該方法的物理學、認識論、歷史和教學基本原理。
I. 引言 INTRODUCTION
科學的偉大遊戲是對現實世界進行建模，並且每一種科學理論都規定了一套玩遊戲的規則體系（system）。遊戲的目的是構建真實物體和過程的有效模型。這些模型構成了科學知識的核心。理解科學就是要知道科學模型是如何構建和驗證的。因此，科學教學的主要目標應該是教授建模遊戲（modeling game）。
如果建模就是一切（MODELING IS THE NAME OF THE GAME 譯註：be the name of the game means is the most important aspect of a situation），那麼考慮到典型的教科書，學生對入門物理學感到不知所措和迷惑就不奇怪了。學生們只能從大量的細節中自己提取遊戲規則。這就好比學習國際象棋時，僅僅通過觀察棋盤上的棋子神秘地消失和重新出現，以及奇怪的反常現象進行，如王車易位（castling），以及比賽的突然！這個遊戲在你瞭解了規則後都足夠難了。
無怪很少有學生能把規則搞清楚，當大多數人完全忽略了遊戲的意義時。大多數學生認為遊戲是為了收集和記憶事實。這使他們對科學所揭示的物理世界的美麗結構視而不見。
本文旨在通過從建模的角度劃定牛頓力學的結構來闡明物理學的教學目標。其目的是為了促進建模技能的教學，將其作為適用於縱觀科學的最根本的可轉移技能。這種技能只有在特定的科學理論背景下才能得到發展。歷史上，牛頓力學一直是科學理論的典範，今天它仍然很好地發揮著這一作用。因此，我們把牛頓世界作為一個概念性的舞臺，人們在這裡學習如何玩科學的建模遊戲。只有把牛頓遊戲學好了，人們才能理解它的侷限性和現代物理學中更精細的遊戲的基本原理。
II. 定義牛頓世界 DEFINING THE NEWTONIAN WORLD
牛頓理論，像其他每一種科學理論一樣，都定義了一個概念世界（Conceptual World）。這個世界充滿了物理世界中真實物體和過程的概念模型（圖1）。應該在牛頓世界和它所描述的物理世界之間保持明確的區別。許多學生和教科書都沒有做到這一點。結果，人們普遍認為，牛頓定律是物理世界中固有的（inherent），只是等待著被發現，就像哥倫布發現美洲一樣。相反，正如愛因斯坦反覆強調的那樣，物理學定律是「人類思想的自由創造（free creations of the human mind）」。[1]
【圖1：牛頓認識論。牛頓世界是一個由物理世界中實際物體和過程的可能模型組成的概念世界（conceptual world）。牛頓理論定義了可能模型的範圍。物理現象是通過建立有效的模型來表示（represent）它們而被解釋的（因此也被理解）。】
牛頓定律是為了描述真實物體運動中的某些規律性的。這些規律性，確實，是自然界所固有的，但如果沒有發明適當的概念來描述它們，就無法發現它們。在「牛頓時代」之前，它們沒有被發現並非偶然的，儘管它們一直都在「自然之書（the Book of Nature）」中展示給每個人看。如果沒有一系列先前的概念發明，「牛頓定律」的概念是不可能實現的，其中包括（1）歐氏幾何（Euclidean geometry），它定義了空間概念，（2）加速度的概念，由伽利略首次在運動分析中使用，(3) 解析幾何（analytic geometry），由笛卡爾發明，用代數方程表示幾何曲線，以及（4）微分（differenial calculus），牛頓和萊布尼茨的數學發明，被證明不僅對於構想牛頓定律，且對於其應用都至關重要。
這一切的一個寓意是，概念性的發明和經驗性的發現是相輔相成的。一個人無法發現他無法設想的東西。同樣，學生必須先熟悉牛頓世界，然後才能在其中認識到物理世界的反映（reflections），並將其作為理解物理世界的概念工具。因此，物理學入門的一個主要目標應該是幫助學生進入牛頓世界 [2]。事實上來說，是牛頓世界必須進入學生，因為它是一個概念性的世界，必須在任何想了解它的人的頭腦中重新創建。每個學生都必須在自己的頭腦中重新創造牛頓世界以此來理解它。這是一種高層次的創造性行為，所以無怪學生會覺得困難，特別是考慮到教科書中對牛頓理論的碎片化的展示。
牛頓理論定義了牛頓世界，但它從未被牛頓完全闡明過，而自那以後它被物理學家們大大地完善和擴展了。由於這些原因，對牛頓的運動三定律的盡責援引（從他的原話的拉丁文中的典範翻譯，甚至在現代的改述中）是對牛頓理論的不充分表述，儘管它是標準的教科書做法。教育研究表明，大多數學生能夠背誦這些定律，但很少有人理解它們。現在是時候打破這種教科書的傳統了，取而代之的是對牛頓理論的清晰、緊湊、連貫和完整的重新表述，哪怕只是為了準確說明學生必須學習什麼，從而指導教學設計。我自己對這種重述的嘗試在圖2中作了圖示。它已經在其他地方得到了擴展和討論 [3]，所以我可以在這裡把我的意見限制在它的基本原理和教育意義上。
（譯註：通常的牛頓定律的表述為，第一定律：物體有保持靜止或運動的趨勢；第二定律：力等於質量乘以加速度；第三定律：每個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。 ）
關於圖2中的牛頓世界，首先要注意的是，它完全由（點）粒子（point particles）構成。這個世界中的廣延體都可以還原為構成它們的粒子[3]。點粒子並不存在於物理世界中；它們是牛頓理論創造的概念性物體。它們是由牛頓定律定義的，並且牛頓定律規定了它們的屬性（properties）。圖2顯示了牛頓定律的擴展版本。最明顯的新增內容是第零定律（Zeroth law），它規定了位置和運動的原始運動學屬性，從而定義了牛頓的空間和時間概念（當然，這些概念起源於希臘幾何學）。在傳統的物理學教科書中，第零定律被默認為是理所當然的，大概是由於牛頓和他同時代的人不承認它是一個物理定律這一歷史原因。在今天這個時代，這種遺漏沒有理由，因為愛因斯坦已經表明，牛頓理論最深刻的缺陷就在於第零定律。[3]
必須承認，圖2中定義的牛頓世界與牛頓的原始概念並不完全相同；然而，它與當今物理學家理解和實踐牛頓理論的方式相一致。也許最大的區別是取消了牛頓的「絕對空間」概念，而改用相對於特定參照系的相對位置。
第零定律是牛頓定律中最複雜和最困難的，也是最基本的。它為長度、方向和時間，因此也為所有的物理測量提供了理論基礎。對第零定律的全面闡述將包括對剛體（rigid body）、參照系和參照系統等概念的定義，以及它們在測量中的作用。每次的測量都涉及到物體或過程的比較。因此，測量一個特定物體的長度，就是根據一個眾所周知的、定義明確的程序，將其與一個被稱作尺（ruler）的標準剛體進行比較。同樣，對時間的測量是由一個叫做時鐘的「標準粒子（standard particle）」相對於特定參考系的位移（displacement）來定義的。在此基礎上，速度和加速度的概念可以被定義並作為任何粒子相對於時鐘的運動的定量描述符（quantitative descriptor）來使用。這樣，長度、時間和運動的測量就在牛頓世界中被定義了。物理世界中的測量是另一個故事，我們稍後再談。（譯註：第零定律的說法是作者所指出的，指一種在當今的物理學視角下看牛頓整體理論假設中當初所未被明確提出的假定：任何物質對象可以被建模為一個粒子（particle）或物體（body）｛粒子的系統｝；每個粒子對於一個給定的參照系的三維歐幾里得空間來說，有一個確定的位置 ）
有了第零定律而來的空間、時間和粒子的概念，質量和力的概念就由牛頓定律的其餘部分來定義。在圖2中，我不情願地遵從了傳統列舉了牛頓定律的第一、第二和第三定律，但我跟隨 Arnold Sommerfeld 將疊加原理（superposition principle）指定為獨立於其他定律的第四定律，並且我引入了第五定律來闡明力的關鍵定義屬性，而這些特性通常只是被默默地引入到牛頓理論之中。
比起完整列舉牛頓定律更根本的，是將其分為運動學（kinematical）定律、動力學（dynamical）定律和相互作用（interaction）定律的三層分類。這種分類超越了牛頓理論，適用於所有的物理學，實際上也適用於所有的科學。通過在牛頓理論中應用它，我們幫助學生準備好將其推廣到物理學的其他領域。從邏輯上講，相互作用定律應該放在以它們為前提的動力學定律之前。這些定律定義了相互作用的概念，作為牛頓理論中的力的概念被表述。具有諷刺意味的是，我認為以前從未被列入牛頓定律的第五定律是最基本的相互作用定律，因為它宣佈存在兩個只取決於粒子相對位置和速度的粒子力函數。第四定律（疊加原理）簡單地將任何粒子上的淨力定義為兩個粒子間作用力的矢量和。因此，所有的力都可以還原為兩個粒子間作用力（two particle forces）。
動力學定律將相互作用與運動學聯繫起來，因此決定了粒子的運動。應該注意到牛頓第一定律的微妙的、最多餘的作用。當然，一個自由粒子，被定義為淨力為零的粒子。這提供了一個區分慣性系統和其他參考系統的標準，說自由粒子具有恆定的速度，就是說它們定義了一個統一的時間尺度（time scale）。這個時間尺度的定義是牛頓第二定律的一個基本前提條件。第一定律以前被歸類為運動學定律 [3]，但在這裡被歸類為動力學定律，因為它是第二定律的基本前提，而且涉及力的概念。
斷言（assert）牛頓世界是由圖2中的全套定律所定義的，就是斷言這些定律是定義了粒子、運動、力和質量概念的公理 （axioms）。力和質量的定義在物理學家和哲學家之間引起了許多無益的爭論，我認為這是由於認識論和定義的概念的缺陷。讓我們對這些概念有一個清楚的認識。首先，應該認識到，牛頓理論是建立在建構主義認識論（constructivist epistemology）之上的，如圖1所示，它在（真實）物理世界和為描述它而建構的牛頓概念世界之間保持著鮮明的區別。定義只與概念世界有關，根本不與物理世界有關。定義的目的是通過說明一個概念與其他概念的關係來確立它的意義。當這一點做到了，我們就說這個概念得到了很好的定義。有兩種方法可以做到這一點，併產生兩種定義：明確（explicit）定義和隱含的（implicit）定義。
一個概念的明確定義是通過直接用其他概念的術語來表達它。這是傳統的定義概念，例如，在將「動量（momentum）」定義為質量乘以速度時使用。另一方面，一個概念的定義是隱性的，即指定一套公理，將其與其他概念聯繫起來。例如「幾何點（geometrical point）」的概念是由幾何學的公設定義的，這些公理規定了它與其他點、線和平面的關係。這樣的公理必須包括在對第零定律的完整陳述中。同樣，「質量」和「力」的概念是由圖2中的牛頓公理（定律）的其餘部分隱含地定義的。公理通過接受它們作為定義而與其他聲明或方程式區分開來，因此它們不需要被證明，儘管應該確定它們是相互一致的（consistent）。像「粒子」、「質量」和「力」這樣由公理系統提供有意義關係的新術語，通常被說成是「未定義術語（undefined terms）」。這是一個嚴重誤導的表述，應被刪除，因為它與「被良好定義（well defined）」這一術語的既定用法相沖突。最好是說 「一個理論中的某些術語必須被隱含地定義」，而非「某些術語必須被未定義」。
牛頓定律作為公理發揮作用，定義了概念的牛頓世界。但「定律（law）」一詞表明，它們不僅僅是公理，它們有物理上的闡釋，賦予它們另一個層面的意義。像「質量」或「力」這樣的定量概念的物理解釋可以通過指定一個測量程序來引入。這種測量程序通常被稱為「操作性定義（operational definition）」。我同意 Mario Bunge 的觀點，這種術語是對語言的嚴重濫用，應該避免，因為它導致了定義和測量概念之間的混淆。一個定義，無論是隱含的還是明確的，都是將概念與概念聯繫起來，而不是將概念與事物聯繫起來。測量（measurement）的概念是另一回事，我們將在後面討論。
「操作性定義」的概念起源於恩斯特·馬赫（Ernst Mach）在其對牛頓力學的著名批判中所信奉的最有力的實證主義認識論（positivist epistemology）。馬赫認為，物理規律只是感官經驗的總結，物理概念的意義只能通過明確它們與經驗的關係來確定。正是在這個意義上，「操作性定義」是為了賦予物理術語以意義。作為一個典型的例子，馬赫提出了一個根據粒子的加速度來測量它們的質量的程序（procedure），這個程序今天常常被作為一個典型的操作性定義來提出[6]。
相反，我們的建構主義認識論邀請我們把這僅僅看作是牛頓公理在測量質量的實驗設計中的應用，而這僅僅是因為質量已經被牛頓的公理很好地定義了。事實上，馬赫的程序並不十分實用。有許多其他的方法來測量質量，例如，在碰撞中使用守恆定律，而且隨著物理學的發展，新的程序正在不斷地被開發出來。所有這些程序都有用，但沒有一個程序本身提供了一個合適的質量「操作性定義」。正是牛頓公理對質量的共同定義（common definition），使不同的程序所得到的質量值相互關聯。
愛因斯坦非常欣賞馬赫，但他強烈地反對馬赫的實證主義，特別是他堅持認為物理概念是人類思維的自由創造。愛因斯坦的認識論立場近年來被稱為建構主義，而當然，這也是本文采取的立場。實證主義認為，物理概念的意義是從物理經驗中提取的，而建構主義認為，意義是被建構的，並與經驗相匹配，使經驗具有意義，並且使意義具有經驗性（experiential）。建構和匹配的過程是下面討論的建模理論（Modeling Theory）的主要組成部分。這預示著圖1中概念世界和物理世界之間的鮮明區別。建構主義承認實證主義的一些真理，但只是一種半真理（half-truth）。
在確定了圖2中定義的公理系統在牛頓理論中的基礎性的角色之後，我們可以就其教學意義說些什麼。我認為，為了穩固可靠地理解牛頓力學，學生應該密切熟悉圖2中的整個概念系統（或它的任何更好的版本）。他們應該知道，空間、時間、粒子、質量和力的基本概念是由這個公理系統隱含地定義的，而力學中的所有其他概念都可以明確地用這些基本概念來定義。最後，他們應該知道這些概念是如何被用來建模物理世界的，這個問題將在隨後的章節中討論。
為了幫助學生把定義的公理系統看作一個整體，我把圖2中的示意圖設計成單頁，在適當的時候發給學生。這可以通過額外的講義提供對每一個單獨的定律的充分解釋來補充，這些知識，在任何情況下，學生都應該很容易獲得。圖2中定律右邊的圖標不是單純的裝飾，而是對概念的圖示（diagrammatic representations）和物理學解釋的關鍵。
我不主張在入門力學課程開始時就把圖2介紹給學生，因為他們還沒有準備好理解或運用它。相反，我建議在學習完運動學之後，給他們一個解釋版本的第零定律，以總結和系統化他們的運動學知識。在對各種力進行研究考察之後，可以對相互作用定律進行總結。最後，在引入牛頓第二定律後，就可以展示完整的公理系統。
III.牛頓的建模遊戲 NEWTONIAN MODELING GAMES
牛頓世界是進行牛頓遊戲的概念性舞臺。有許多這樣的遊戲，其難度各不相同，但它們都有一個共同的目標，那就是產生被驗證的物理現象的模型（producing validated models of physical phenomena），而且它們都有一個從牛頓理論的定義定律中得出的基本規則系統。
【表1. 牛頓建模遊戲的規則。
棋盤：某個物理參考系統的三維歐幾里得空間。
棋子：點粒子或由粒子構成的模型物體。
目標：為物理世界中的物質對象和過程產出有效的模型。
合法的棋步：
(1) 粒子可以在參考系中被指定任何與特定的相互作用相一致的初始位置或速度。
(2) 粒子可以被指定任何符合一般相互作用定律的相互作用（圖2）。
(3) 粒子的軌跡必須由一般動力學定律（圖2）或由其衍生的定律來計算。
(4) 一個模型通過與符合定義定律（圖2）的物理現象相匹配而被驗證。】
表1給出了這些規則的一個簡明的非官方版本。就像國際象棋的規則一樣，它們規定了遊戲棋盤、棋子、移動棋子的規則，以及贏得比賽的規則。初學者必須知道這些規則，才能放心地玩牛頓遊戲。對於特定專門的遊戲，還需要額外規則。
有兩類典型的建模遊戲：理論的（theoretical）和實驗的（experimental）。很少有專業物理學家對這兩類遊戲都同樣精通，甚至對一類遊戲精通，所以他們必須合作才能玩好更難的遊戲。一般來說，理論遊戲涉及發展和分析模型，而實驗遊戲涉及根據經驗評估模型並將其用於物理學的探索。一個已被證明能充分代表某些經驗領域現象的模型被稱為被（經驗）驗證（empirically validated）。顯然，必須同時玩理論和實驗的遊戲，以產生被驗證的模型。如圖3所示，理論遊戲完全是在牛頓世界的概念領域中進行的，而實驗遊戲則是在物理世界中進行的，以便將其與概念世界銜接起來。理論研究者建立的是概念世界（可能的世界），而實驗研究者探索的是物理世界（實際的世界）。
【圖3. 科學方法可以被描述為一個產生概念模型和選擇那些最能表示物理現象的模型的過程。理論研究者主要從事構建和分析物理現象的可能模型（possible models）。實驗者主要從事檢測物理現象的規律性，而其是否可由概念模型來解釋。因此，理論和實驗是產生關於物理世界的經過驗證知識，即科學知識的單一循環過程的相輔相成的部分。】
A. 理論遊戲 Theoretical games
理論遊戲有三種一般類型：(1) 模型建立（model building），(2) 模型分支（model ramification），和 (3) 模型的部署運用（model deployment）。
在第一種類型中，目標是建立一個模型以滿足給定的技術參數（specifications），這些參數通常來自觀察的經驗數據。從歷史上看，這種類型的第一個偉大的遊戲當然是由牛頓本人贏得的！牛頓面臨的挑戰是找到支配行星運動的力的法則。羅伯特·胡克（Robert Hooke）和其他人已經猜到這是一個平方反比定律，但他們無法贏得遊戲，因為他們沒有一套完整的規則。雖然其他人有一些規則，但牛頓是第一個將它們整合成一個連貫系統的人；這涉及到這形成他的第二運動定律至關重要的微積分的發明。然後，他以精湛的技巧從開普勒的三個運動定律中推導出引力定律的形式，並進行反向論證。因此，他構建並驗證了動力學系統的第一個模型：一個受中心引力作用的點粒子。請注意，牛頓的模型是通過與開普勒定律相匹配而自動得到驗證的，開普勒定律已經有了一個良好定義的經驗有效性的領域。後來對該模型的展開運用表明，它具有更廣泛的有效性領域。
分支遊戲是玩來分析複雜系統的屬性（即，分支後果）的。牛頓一考慮到單一粒子上的引力疊加，就被捲入了這種遊戲。例如，為了證明他對拋物線運動的分析，牛頓被引向而去證明他著名的定理，即球形對稱的地球所受的引力與位於地球中心的單一質量的引力是相等的。當然，這提出了關於更復雜的地球模型的影響的問題，這些問題直到今天還在困擾著地球物理學家。
牛頓為分支遊戲設計了一個一般策略，自此以後一直是理論研究者們的主流，儘管還在不斷地改進和闡述。它被稱為線性化和微擾理論（linearization and perturbation theory）。其思想是以某種冪級數來擴展相互作用。當比第一階更高的項被忽略時，一個模型就被稱為線性化。線性模型可以進行精確的數學分析，儘管完整的數學理論很大量。在線性化模型被「解決（solved）」後，微擾理論可用於評估原始擴展中更高階項所引起的修正（corrections）。
非線性模型的全部分支後果更難確定，因為它們涉及相變和混沌等複雜現象。即使是牛頓的三體問題，對具有相互引力作用的三個粒子的運動進行分類，儘管它自牛頓以來已經吸引了幾代物理學家和數學家，也沒有得到完全解決 [8]。然而，最近，計算機模擬已經發展成為一種研究複雜系統行為的實用方法。因此，理論家們有一個新的分支遊戲要玩。
部署遊戲（Deployment games）涉及模型與經驗現象和數據的匹配。通常，一個給定的模型已經在一些經驗領域得到了驗證。對模型進行運動以解釋來自該領域的新數據是被看作常規的。如果不能實現數據與模型的合適匹配，就可能認為數據是有缺陷的，可能是由於經驗性錯誤。
在一個新的經驗領域部署一個經過驗證的模型可能會導致真正的全新的物理學知識，正如牛頓第一個發現的那樣，無疑是因為他有第一個機會。每個物理學生都應該知道，牛頓將他的行星運動的動力學模型應用於月球和地球表面附近的拋射物，不僅證明了這些不同的現象可以由同一個基本模型來解釋，而且還建立了它們之間的定量關係。因此，他產生了證據，證明他的引力吸引定律是一個普遍的引力定律。
科學的解釋（explanation）和預測（prediction）的遊戲是兩個流行的部署遊戲。一個物理現象只有在它可以在理論中被建模的情況下才能被理論解釋。因此，模型就是解釋（model is the explanation）！大多數解釋只是部分的或定性的。在一個定性的解釋中，往往沒有提到模型，儘管對了解該理論的人來說已隱含了一個模型。例如，像「潮汐是由於月球的引力吸引」這樣的解釋沒有明確提到模型，但一個明確的模型對於解釋潮汐週期是地球自轉週期的一半這樣的細節是必不可少的。在一個預測遊戲中，模型通常更加明確，因為它需要在模擬的數據中生成一些趨勢。
B. 實驗遊戲 Experimental games
實驗性遊戲可以被歸類為模型部署遊戲。部署是建模的經驗性組成部分。實驗性部署遊戲與剛才提到的理論性部署遊戲不同，其目的是測試和驗證模型。這種對實驗活動一般目標的表述需要一些理由，以免它被認為從實驗或理論的角度來看都過於狹窄。
實驗者可能會反對，他們從事的是探索物理世界的新現象，而不僅是評估理論研究者提出的模型。實驗者常常低估理論的影響，甚至對他們自身活動也是如此，而實證主義通過宣稱理論服從於實驗而強化了這種傾向。例如，發現超導性的 Kammerlingh Onnes 宣稱，通向知識的唯一道路是通過仔細、持續、系統的測量，他甚至在1924年就質疑麥克斯韋方程的價值。似乎他完全忽視了理論在決定「什麼值得測量」方面的作用 [9]。這種嚴重的疏忽是如何發生的，可以通過檢視一些實驗者狹隘的訓練來理解，即使在今天。一個年輕的學生可以開始在物理實驗室工作而沒有什麼背景。很可能他（或她）會被介紹給一些新的實驗技術。如果他有一雙「天生實驗家」的「好手」，他可能會完善這項技術，從而在他的領域中獲得一些聲譽。由於在他的實驗室裡看不到任何理論，他可能認為他的活動是獨立於理論的。由於他在一個既定的實驗性傳統中獲得了成功，他不需要理論的激勵，並可能對他的領域的理論的基本原理保持漠視。反正他也不喜歡那些理論課程！
幸運的是，有更多有洞察力的實驗者。他們認識到，每件儀器的設計和他們在實驗室裡做的每一件事都有一個關鍵的理論成分，儘管許多理論基本原理已經被遺忘，並被標準的實驗程序所取代，或通過定性的思想模型（mental models）發揮作用，從而指導實驗者穿過儀器的迷宮，對不可見的物體進行實驗。馬丁·多伊奇（Martin Deutsch）[10] 對這一切進行了極為詳盡的描述，他指出:
「實驗程序可以簡單地包括注意記錄儀器上的讀數與磁鐵電流的關係。所做的改變：控制旋鈕的位置，以及由此產生的影響——記錄儀器上的讀數，這對於在實驗所涉及的材料總體中幾乎可以忽略不計……為什麼能從這個實驗中得出重要而可靠的結論呢？答案在於，實驗者一開始就對正在發生的事件之間的實際聯繫有一個很好的結構化的圖景（well structured image）。他遠遠沒有以完全開放的心態，即科學家應該以無偏見的方式調查所有可能的聯繫的特點，來對待這個問題，他一開始就確信，除了他在實驗中實際調查的那個事件之外，所有相關的事件發生（occurrences）要麼已經被完全理解，要麼至少在原則上可以根據預先構想的圖景來解釋。如果沒有這個圖景，那這個實驗首先就不可能被構想出來。」
實驗活動有兩個主要組成部分：（1）實驗的設計和闡釋；（2）數據的收集和闡釋。除了多伊奇所描述的直觀的作用（intuitive role）外，模型在這兩項活動中都發揮著必不可少的形式化的作用。因此，它們受到建模遊戲規則的制約。
首先考慮數據的收集和闡釋，或它通常被稱作的「測量」。對於 Kammerlingh Onnes 來說，測量的完善（refinement）是科學的典型精髓的（quintessential）遊戲。物理學中最根本性的測量是對長度和時間的測量。這種測量所依據的理論是如此的成熟和有效，以至於它很少被認為是一種理論。甚至在愛因斯坦之前，理論需要經驗驗證的事實也沒有得到承認。這個理論的一個明確表述就是第零定律（圖2）。第零定律規定了在進行和長度和時間的測量和比較時要遵守的規則（允許的棋佈，如果你願意這麼稱呼的話）。Campbell 對測量長度的程序進行了操作性分析。儘管不完整，但揭示了所涉及的一些理論上的微妙性和複雜性。儘管第零定律提供了理論基礎，但在現代實踐中，許多其他物理定律也參與其中，以增加運動學測量的範圍和精度。電磁理論需要被用於非常大和非常小的距離測量，而量子理論則需要用於原子鐘的精確時間測量。沒有理論背景的物理測量是不存在的！
對數據的分析和闡釋與數據收集過程中採用的程序一樣，都是測量的一部分，因為沒有它們，數據就毫無意義。數據只有在與某些概念模型相關的情況下才是有意義的。一個實驗如果不能有助於驗證或否定某個模型，那麼它就是無用的，儘管這個模型在實驗進行之前可能沒有被表述。模型在測量中的這一關鍵作用並不經常被承認。
歷史上，在數據闡釋中部署模型的第一個偉大例子是開普勒對第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的行星運動數據的分析。回想一下，托勒密採用本輪模型（epicycle model）來解釋希臘的數據。該模型被認為是一種解釋，因為它是均勻圓周運動的綜合體，而希臘的「理論」將其視為「完美運動（perfect motions）」。哥白尼用更簡單的圍繞太陽的單一形式的圓周運動模型解釋了基本相同的數據。他的結果在今天看來並不那麼具有革命性，那是因為我們把托勒密模型和哥白尼模型看作是在不同參考系中表示的同一模型。真正的哥白尼革命在於認識到使用不同參考系的可能性，並展示如何在數據分析中使用它。這種可能性後來被承認為一項根本性的原則，並正式納入我們表述的第零法則中。
開普勒在他自己的分析中採用了哥白尼參照系，並表明第谷更精確的數據無法與哥白尼模型相適應。這是 Onnes 所強調的精確測量的重要性的一個典型例子，但它也說明了模型對於使測量有意義是必不可少的。由於之前沒有人考慮過均勻圓周運動的任何運動學的替代方案，開普勒不得不發明自己的模型來適應數據。他的傑出成果被表述為一個稱作開普勒定律（Kepler's laws）的函數關係系統。許多物理學家堅持認為，開普勒定律是被發現的，而不是被髮明的。恰恰相反，開普勒發現的，是這些定律符合數據的要求。說開普勒的模型（而不是定律），並說這個模型在第谷的觀測中得到了精確的驗證，這樣會更好。我們現在知道，可以發明許多替代模型來適應相同的數據，但開普勒的模型是這一類模型中最簡單的。我們還知道，開普勒的模型比起肉眼觀測，不能適應於望遠鏡所收集的更精確的數據，因為橢圓的行星軌道會受到來自其他行星的引力擾動，正如牛頓最終用他的動力學理論所確定的那樣。
開普勒的方法永遠無法發現這一事實；我們需要牛頓的更強大的方法。如果開普勒的模型很快就被更精確的數據所否定，那麼牛頓的萬有引力定律無疑會更難發現，這也是不小的諷刺。這裡我們有一種可能性，即科學進步可能會被更高的實驗精確度所阻礙。Onnes 從來沒考慮過這點！另一方面，如果不是第谷改進了方法和儀器，也就是提高了天文測量的精度，開普勒肯定也不會發明和驗證他的模型！
實驗者經常在他們的數據中尋找可以用簡單函數關係描述的模式或規律性。這通常被稱為「對數據進行建模（modeling the data）」。但是，如果把「模型」看作是真實物體和過程的表示（representations），這就是一個危險的誤稱。一種經驗關係（empirical relation）不是一個模型。經驗關係和模型之間的關鍵區別常被忽視或被認為是理所當然的。如果沒有一個模型來闡釋它，一個經驗曲線是沒有意義的。例如，伽利略的「落體定律」x=gr/2 指的是一個特定背景下的模型物體，其中包括參照系的規定。只有對於一個特定的模型和參照系統，這個方程才能被理解為描述「下落的過程（process of falling）」。
「讓數據自己說話」的口號是基於實證主義的信念，即意義可以直接從經驗中提取。與此相反，建構主義認為，理論產生模型和方程來描述和解釋，而實驗則選擇那些與現象相匹配的模型。數據闡釋是對一個模型的選擇，通常是從一個具有可調整參數的模型系列中選擇。有人說，科學實驗的目的是向大自然提出一個問題。既然如此，答案就是一個有效的模型，而不僅僅是一堆數據。
為了瞭解測量是如何融入實驗的一般背景的，我們必須考慮實驗的設計和闡釋。我們可以區分兩種實驗問題或測試：一種是測試科學理論本身的有效性，另一種是測試從理論中得出的模型的充分性（adequacy）。讓我們依次討論每一種問題。
牛頓理論的定義性的公理被稱為定律，因為它們已經在一個廣泛的經驗領域中得到了經驗性的檢驗和驗證。事實上，這個領域是如此廣泛，以至於在整個十八和十九世紀，它們被認為是普遍有效的（或真實的！）。只有在二十世紀，相對論和量子力學才對牛頓理論的有效性做出了明確的限制。該理論的公理不能直接或獨立地進行經驗檢驗。它們只能通過其對模型建立的影響間接地進行檢驗。只有模型可以通過實驗進行檢驗，即，可通過實驗研究的物理現象的模型。因此，理論只有通過驗證由其衍生的模型才能得到有效驗證。
作為一個例子，考慮一下對牛頓第三定律的驗證，這是牛頓在《原理》（Principia）中介紹他的三大定律時唯一用實驗證據支持的定律。他提到的實驗是（沉默地）為了測試兩個相互作用的粒子的模型而設計的。首先，牛頓引用了碰撞實驗中的動量守恆作為第三定律適用於接觸力的證據。雖然動量守恆在他之前就已經從實驗證據中提出來了，但只有牛頓能夠推導出它與第三定律的關係，因為只有他擁有第二定律，才能在雙粒子模型中建立起聯繫。其次，作為第三定律適用於遠距離作用力的證據，牛頓描述了他自己在一個由障礙物隔開的兩個相吸磁鐵系統上進行的實驗。在那裡，他做了一個重要的觀察，即如果內部（磁）力不抵消，該系統就會自我加速。也許牛頓對第三定律最有說服力的證據是它對《原理》第三卷中許多相互作用的粒子的驚人意義；其中包括新的預測：地球上的潮汐是由太陽和月亮的引力共同造成的。然而，他在第三冊中把第三定律應用於建模，彷彿它的普遍有效性已經無可置疑。這些結果肯定會鞏固他對第三定律的信心。事實上，牛頓在第三冊中開發的模型導致了一系列新的預測；其中一些很快就被皇家天文學家 John Flamsteed 的觀測所證實，而另一些則讓天文學家在接下來的兩個世紀裡忙得不可開交。這就是一個典型的例子，說明理論是如何產生問題並通過實驗或觀測進行研究的。
今天，牛頓理論已經得到了很好的驗證，對其有效性的經驗性的測試不再具有科學意義。然而，根據牛頓規則建立的物理現象模型必須經過經驗檢驗，以確定它們對現象的描述有多充分，因為這些模型總是涉及規則中沒有涉及的假設。沒有任何一個單獨的模型能夠捕捉到一個真實物體的全部複雜性（No single model ever captures the full complexity of a real object）。
然而，原則上，對可以建模的複雜性沒有明確的限制。訣竅是選擇能夠解釋經驗數據的最簡單的模型。這就是作為模型部署的一個基本原則來表達的，奧卡姆剃刀（Occam's razor）。一個物理對象的最簡單模型當然是一個單一的粒子。如果物體的空間大小可以被忽略，這是一個適當的模型，這個標準可以在實驗和理論上進行評估。理論上的評估是通過構建複雜度越來越高的模型序列來進行的，因此在建模序列的每個階段，都可以部署運用模型來評估前一階段所忽略的內容。這是一個重要的建模策略，可以稱為連續精細化（successive refinements）原則。不應感到驚訝的是，在《原理》中可以找到這一原則的第一次偉大的應用，因為牛頓是第一個知道所有這些建模遊戲規則的人。讓我們回顧他所做的。[13]
《原理》第三冊（世界體系 The World System）是牛頓的最高成就。在這裡，牛頓用他的引力定律玩起了建模遊戲，並通過展示如何將其驗證為一個普遍定律，即第一個已知的根本性的力定律。首先，他將行星建模為粒子，並解決了有固定力心的引力單體問題。由此，他推導出開普勒定律，這是模型在經驗上可檢驗的結果。接下來，他解決了雙體問題，並表明這意味著對開普勒定律的可量化的偏差。因此，他確定開普勒定律不是自然界固有的。相反，它們是一個簡單的動力學模型可檢驗的屬性，在模型應用的條件下，可以憑經驗觀察到。接下來，牛頓提出了多體問題，儘管他不能解決這個問題，但他能夠從中得出可檢驗的結果。因此，他能夠用這個模型來解釋觀察到的「月球均差（lunar inequalities）」是由於太陽對月球軌道的擾動，並預測木星對土星軌道的擾動，這很快就被Flamsteed 發現。最後，他從粒子模型轉向地球的廣延體模型，並發展了他的潮汐理論，其經驗意義足以讓天文學家們忙碌幾代。遺憾的是，即使在今天，也很少有教科書像牛頓那樣追求這種建模遊戲；參考文獻3是個例外。
這個案例說明了自牛頓以來科學家們一直在成功地應用的幾條實驗設計的一般原則。這些原則被總結為以下的規定。
(1) 選擇一個物理現象來進行實驗研究。除了實驗的可及性（accessibility）外，選擇的動機是某些理論問題，如上述案例中引力定律的功能形式。
(2) 從理論上為該現象發展一個模型。許多模型都有必須根據經驗來確定的自由參數。另外，正如已經指出的那樣，開發一連串的模型以提供可測試結果的精確性的理論估計往往是明智的。
(3) 推導出模型的可測試結果。「可測試性（Testability）」可能取決於現有的實驗設備或需要改進儀器設備。
根據這個實驗設計的說明，建模的每一個理論方面都可能涉及到：模型開發、分支和部署。然而，在實踐中，一些步驟經常被跳過。一個單一的實驗很少足以調查一個重要的物理現象。因此，一旦現象被選中，一連串的實驗可能會建立起一個實驗的傳統，而不會重新考慮每個實驗的最初動機。同樣，在一個實驗傳統中早期開發的模型可以重複部署，幾乎不需要修改來解釋實驗結果。例如，牛頓的天體力學模型就是這種情況。因此，在一個實驗傳統中，實驗設計的問題往往被簡化為提高測量精度的單一的問題。當精確測量本身成為唯一的目的時，這個傳統在科學上就停滯不前了。為了存續，每個實驗傳統都需要偶爾注入新的理論問題和模型。
當然，在不同的經驗領域有不同的實驗設計。天文學家們說的是計劃（planning ）和闡釋他們的觀察，而不是設計實驗。然而，其中也涉及到了同樣的一般建模原則。在天文學中，可以說，實驗已經由自然（Nature）完成了，所以只需要收集和闡釋數據。當伽利略把對物理現象的直接操作納入實驗設計時，可以向自然提出的問題範圍大大擴展了。
為了總結這個關於建模的許多方面的討論，圖3展示了一個概述，它是圖1的一個變體，強調了建模的過程而不是產出，即模型。正如圖中說明的那樣，我們對建模的分析為科學方法（Scientific Method）的清晰闡述提供了基礎，與大多數文獻中的模糊表述形成了明顯的對比。應該認識到，這些建模概念超出了力學的範圍，可以推廣到物理學的其他部分，甚至是所有的科學，儘管每個科學領域都有專門的技術來構建和測試模型。這裡只在牛頓力學領域描述了一般的建模概念，但這特別合適，因為這是它們的發源地。
IV. 充實牛頓世界的內容 POPULATING THE NEWTONIAN WORLD
牛頓世界是由參與牛頓遊戲的物理學家所開發的豐富多樣的模型組成的。這些遊戲的精神範圍從玩耍和實踐的，到深刻和嚴肅的。遊戲中的物理學家喜歡解釋事物的「方式和原因（the how and why）」。因此，《美國物理學雜誌》（American Journalof Physics）的頁面上充斥著各種建模，以解釋像小球、飛盤和超級球這樣的玩具的驚人行為。但總的來說，物理學的發展是由一個更嚴肅的關切所推動的 [14]，自古以來哲學家們就把它稱為「尋找終極因（Search for Ultimate Causes）」。
在牛頓之前，對終極因的尋找幾乎沒有進展。當他用定義明確的力的概念取代模糊的原因概念時，他把尋找變成了一個可行的科學研究計劃，因此它變成了對基本力（fundamental forces）的尋找。他在《原理》的序言中提出的計劃可以被描述為一個建模遊戲；讓我們稱之為
牛頓的相互作用遊戲（NEWTON'S INTERACTION GAME）：（1）從物質物體的運動中建立它們所受的力的模型，並且（2）從這些力中預測它們在新情形下的運動（圖4）。當然，這個遊戲是由表1和圖2中的規則所掌控的，它以第五定律為中心，該定律斷言存在力的函數（functions），或者說力的法則，如果你願意的話。因此，遊戲的目的是制定和驗證具體的力的法則。正如已經指出的，牛頓本人以他的「萬有引力定律（Universal Law of Gravitation）」取得了第一個偉大的勝利。這一驚人的成功無疑使他更有勇氣提出他的遊戲，作為解開自然界秘密的一般方法。然而，發現其他基本力的定律並不那麼容易，所以物理學家仍然在玩這個遊戲，在下一節中會提到了一些新的轉折。
相互作用的遊戲是在幾個層次上進行的，為表2中的相互作用模型的分類提供了基礎。這些模型從現象學的到根本的都有。現在，開發一個新的相互作用的模型是很罕見的，但部署這種模型是物理學家的日常工作。因此，物理教學的一個主要目標應該是讓學生徹底熟悉整個相互作用模型系統以及這些模型是如何部署的。
對終極因的探索還有另一個方面，笛卡爾對此有明確的表述。他認為，所有物質對象都是由不可還原的部分（原子）組成的，所有的變化都只是部分的重新排列（rearrangement）；換句話說，所有的變化都可以還原為運動。毫無疑問，這個偉大的想法幫助說服了牛頓和其他人，運動科學（力學）是瞭解自然的關鍵。鑑於牛頓理論認為所有的運動變化都是由於相互作用造成的，物理學家們被引向一個宏大的假設，即物質對象的所有屬性都是由簡單的不可還原的成分的相互作用產生的。這是所謂的原子假說的一個強有力的版本。它似乎在很大程度上是真實的，但物理學家仍在對它進行評估。評估工作是複雜的，因為物質種類繁多。自然地，它可以被描述為一個建模遊戲；讓我們把它稱為
物質歸納的遊戲（THE MATTER REDUCTION GAME）：從物質對象的組成成分的屬性中推導出物質的屬性。
像相互作用的遊戲一樣，這個遊戲在幾個層次上進行，導致各種類型和複雜性的模型。學生必須熟悉表3中的基本物體模型。雖然不能指望他們發明這些模型，但他們必須把這些模型變成自己的，把它們拆開來看看它們是如何工作的，並在各種情況下部署它們。
當然，物體模型和相互作用模型必須一起部署，因為相互作用是牛頓世界中物體的屬性。內部的交互作用是建立在廣延對象的模型中的，儘管在最簡單的情況下只是施加了幾何約束。另一方面，外部的相互作用可以以無限種的方式強加在一個物體上。物體模型與模型的相互作用的結合就是動力學模型（DYNAMICAL MODEL）。可能的動力學模型的種類太多，無法考察。相反，表4概述了發展這種模型的一般策略，它總結了第三節中的區別。整個力學理論的子理論都致力於各種類型的模型，包括剛體理論、連續體力學和流體動力學。
動力學模型的發展是力學的核心。然而，通常情況下，最好把重點放在模型的某些特定方面，就像我們在對相互作用進行分類時所做的那樣。在對過程模型（表5）進行分類時也是如此，它側重於某些特定屬性的變化，通常是具有守恆定律的屬性。值得注意的是，表5中的基本運動學模型，包括開普勒的模型，都屬於這種類型，因為牛頓的相互作用遊戲正是從這些模型開始。
V. 打破和制定規則 BREAKING AND MAKING THE RULES
薛定諤（Schrödinger）是這樣描述科學的遊戲的 [15]：
「科學是一場遊戲，但卻是一場與現實的遊戲，一場帶著尖刀的遊戲......如果一個人把一幅畫小心翼翼地切成1000塊，當你把這些碎片重新組合成一幅畫時，你就解決了這個謎題；在成功或失敗中，你的才智都在競爭。在科學問題的陳述中，另一個遊戲者是好的上帝（good Lord）。他不僅設置了問題，還設計了遊戲規則——但這些規則並不完全為人所知，其中一半是留給你去發現或推導。實驗是你揮舞著的鋼刃，成功地對抗黑暗之靈，或被可恥地擊敗。不確定的是，有多少規則是上帝自己永久規定的，而有多少顯然是由你自己的頭腦的不思進取（mental inertia）造成的，而解決方案通常只有通過擺脫其限制才能成為可能。這也許是遊戲中最令人興奮的事情。因為在這裡，你努力對抗你自己和神性間想象的邊界——一個也許並不存在的邊界。你可能確實被賦予瞭解開所有束縛的自由，使自然的意志成為你自己的，不是通過打破它或征服它，而是通過渴望它（willing it）。」
因此，科學的終極遊戲是發現自然遊戲的規則，也就是了解宇宙如何運作（how the Universe works）。上帝是對手，但正如愛因斯坦所觀察到的，他並非惡意的，然而，他是難以捕捉的（subtle）。
終極遊戲的目標過於宏大而不切實際，因此科學被細分為一系列較小的遊戲，每一個遊戲的目標都比較有限，即為物理世界的某些限制的領域建模。牛頓遊戲不是物理學中唯一的遊戲，但所有其他遊戲都是變種（variants）。通過嫻熟地遊玩牛頓遊戲，物理學家一直在測試規則，以發現它們失敗的地方，並嘗試新的規則，以改善遊戲。其他偉大的物理學遊戲就是通過這種打破和制定規則的過程而出現的。根據這些遊戲的規則與圖2和表1所列的牛頓規則的不同之處來描述這些遊戲是很有啟發性的。
A. 麥克斯韋的遊戲 Maxwellian games
當亞歷山大·波普（Alexander Pope）宣稱「上帝說：讓牛頓存在吧，一切都很清楚了！（all was light！）」時，他是錯誤的。事實上，在牛頓的物質粒子世界中沒有光這回事。但麥克斯韋用他的光的電磁理論糾正了這一點。麥克斯韋通過引入一個新的概念實體，電磁場（electromagnetic field），拓展了牛頓世界，與物質粒子一起被用作物理模型的基本組成部分。海因裡希·赫茲（Heinrich Hertz）驗證了麥克斯韋的光波電磁模型，取得了麥克斯韋新遊戲中的第一個偉大勝利。
B. 愛因斯坦的相對論遊戲 Einstein's relativity games
愛因斯坦認識到麥克斯韋的電動力學並不完全適合牛頓世界，他將問題歸結為第零定律中的一個缺陷。牛頓版本的第零定律未能準確模擬物體在高相對速度下的運動學。愛因斯坦通過微妙地修改第零定律中的時間概念來糾正這個問題。第零定律實際上是一個空間和時間的模型。閔可夫斯基（Minkowski）表明，愛因斯坦的修改將第零定律改變為一個時-空（space-time）模型，其中空間和時間之間沒有單一的分離；因此，它是幾何學與運動學的融合。狹義相對論（Special Relativity）的遊戲就是在這個新的時空舞臺上進行的。愛因斯坦的廣義相對論是對第零定律的進一步修改，將引力表現為對時空的彎曲。他的夢想是所有的相互作用都能以類似的方式還原成幾何學。物理學家仍然在追求這個夢想。
C. 量子游戲 The quantum games
量子力學之所以被開發出來，是因為牛頓理論未能對像原子和電子這樣的非常小的物體產生合適的模型。量子力學並沒有修飾第零定律；相反，它修改了粒子、場和相互作用的基本概念。換句話說，量子游戲是在同一個棋盤上用新的棋子和不同的棋步動作（moves）進行的。量子世界是一個新的概念世界，充滿了奇怪的物體和奇特的過程。在量子游戲中已經取得了許多偉大的勝利，但規則的範圍仍在被驗證。
像牛頓的遊戲一樣，所有偉大的物理學遊戲都是建模遊戲，因此它們共享圖3所示的科學方法的所有一般特徵：模型的建立、分支、部署和驗證。通用的建模策略和戰術在所有的遊戲中都是有效的。但是每個遊戲都有自己特殊的建模技術，所以在一個遊戲中的高超技巧不一定能轉移成另一個遊戲中的同等技巧。
D. 打破遊戲 Beating the game
托馬斯·庫恩（Thomas Kuhn）提出了「常規的（Normal）」和「革命的（Revolutionary）」科學研究之間的區別，這可以在建模遊戲方面得到一個清晰而自然的表述。常規科學嚴格按照規則玩著偉大的建模遊戲。革命性的科學通過修改規則產生新的遊戲。
那些不想按規則遊戲的標新立異者會怎樣？通常，他們會輸掉遊戲，為同行所遺忘。歷史表明，通過改變規則而獲勝的情況很少，只有那些掌握了常規遊戲規則的人才能做到。顯然，只有真正的大師才能看到規則在哪裡失效。
VI. 遊戲教學 TEACHING THE GAME
傳統的物理學教學是極其低效的。教育研究表明，學生在進入大學物理學時，對運動和力有嚴重的誤解，而這些誤解在力學教學中只得到適度的改變 [16]。絕大多數這樣的學生在開始學習時能說出牛頓定律，但仔細評估後發現，即使在課程結束時，他們也不能始終正確地應用這些定律。相反，學生們的推理仍然主要由他們的直覺的錯誤觀念引導。研究者已經確定並歸類了許多這樣的錯誤觀念，「但其中有兩個特別重要，因為它們是對牛頓定律的反覆出現的常識性替代。忽略變化和細微差別，[17]」這些誤解可以被闡述為直觀原則（intuitive principles）。
1.動力原則（The Impetus Principle）：力是物體固有的或獲得的屬性，而使它們運動。
2.主導原則（The Dominance Principle）：在兩個物體間的相互作用中，較大或較活躍的物體施加較大的力。
顯然，動力原則與牛頓定律中的第一和第二定律相矛盾，更不用說第五定律了，該定律要求每個力都有一個施動者（agent）。主導原則來自於將相互作用視為衝突，在這種衝突中，更強大的對手是贏家，這與牛頓第三定律相悖。這些錯誤觀念的存在可能更加嚴重，因為它們意味著力的概念的理解存在嚴重缺陷，而整個牛頓力學都依賴於此。
傳統教學效率低下的原因之一是沒有考慮到學生的錯誤概念。一些研究表明，在明確和系統地處理錯誤概念時，取得了相當大的改善。[18] 然而，考慮到所涉及的顯然是基本的和關鍵的概念，結果還未能達到人們所希望的程度。對牛頓第三定律的誤解尤其頑固 [19] [20]。儘管在常規教學後，可能有多達90%的學生存在這種誤解，但事實證明，要把這個數字降低到60%以下是很困難的。常常有人認為，這種困難是由於這些錯誤觀念在經驗中根深蒂固，我們不應該指望輕易改變它們。然而，我們在這篇文章中的分析表明了一種不同的可能性。
大多數消除對力的誤解的嘗試都是零敲逐個地處理這些誤解，專注於與其他誤解分開的個別誤解。這種方法忽視了力的概念的一個最根本的特徵，即牛頓理論的一致性（coherence）。正如第二節所詳細闡述的，所有（六條！）牛頓定律都是定義力的概念所需要的。因此，牛頓第三定律的意義不能脫離它與其他定律的關係而被理解。這種關係只有通過應用這些定律來構建和驗證特定物理現象的模型才能被揭示。這說明了處理錯誤概念的一般策略，也就是所謂的「以模型為中心的教學（model-centered instruction）」[21]： 集中精力明確地教授用牛頓法則建立模型的原則和技術；這包括對特定情況的模型的驗證。
換句話說，教授牛頓的建模遊戲。教學應被設計，以從學生那裡獲得對牛頓概念的替代方案的明確表述，以進行分析和評估。這樣一來，學生的錯誤概念就會在特定的背景下得到解決，因為在這些背景下，有一個更好的選擇。這是概念改變的基本條件之一，而這一條件在常規教學中很少被滿足。還應該認識到，對合理的替代方案進行比較是驗證過程的一個重要部分。在沒有適當考慮替代方案的情況下，對物理理論的教學只是教條主義。（譯註：諸如在費曼的講座中，他舉了一個用太陽阻擋粒子運動，從而使得地球背面受到的粒子衝擊更多而收到了「吸引」的另一種替代的理論方案舉例，並提出了它的侷限和錯誤點）
這種在建模教學中處理錯誤概念的一般策略，可以用許多不同的方式來實施。馬爾科姆•威爾斯（Malcolm Wells）在設計以實驗室為基礎的高中物理課程時採用了這一策略，在其他地方發表的有據可查的結果中[22]，該課程在消除錯誤概念方面被證明是非常有效的。從這項工作和相關工作中得出的一個重要結論是，如果教學能有效地處理最關鍵的錯誤概念，包括動力和主導原理，那麼大多數其他的錯誤概念就會在沒有教學干預的情況下逐漸消失。當學生掌握了一般的力的概念並將其融入他們的思維時，這一結果是可以預期的。
最對這種建模方法的強有力的歷史支持來自對牛頓自身概念發展的考察，最近的歷史研究清楚地表明，從牛頓最初的研究工作到他撰寫《原理》的二十年間，牛頓接受了「動力原則」以及其他錯誤概念 [23] [24]。 從早年開始，他至少對他的三個定律有了粗略的認識，這些認識主要來自於對他人工作的研究和對兩個粒子碰撞的建模 [25]。然而，直到他撰寫《原理》時，他才將這些認識整合成一個連貫的系統，對所有定律進行了清晰的表述。毫無疑問，促成這一切的事件是胡克和哈雷提出的挑戰，即證明受反平方力作用的行星軌道是一個橢圓。此外，只有在運用第三定律建立他的引力定律的「普遍性」和太陽系的詳細動力學模型時（如第三節所討論的），第三定律才被提升到他思想中的重要地位。
並非是某種智力上的不思進取使牛頓在其職業生活的20年裡一直堅持他對「動力原則」的錯誤信念。而是因為缺乏一個更好的替代方案，或者至少是缺乏發展出一個替代方案的條件。當認知的衝突被點燃時（由胡克的挑戰），牛頓的概念變化是迅速而廣泛的。同樣地，教育的一個核心問題是為學生的快速概念變化建立最佳條件。
關於模型和理論驗證的關鍵過程，牛頓為支持他的第三定律而提出的經驗證據（在第三節中回顧）尤其值得注意。教授第三定律的通常方法是簡單地把它作為一個需要記憶的規則，並在應用它時需要練習 [19]。唯一的理由是對權威的隱含的訴諸。而沒有任何關於驗證的問題。難怪學生們對此無動於衷。那為什麼不採用主導原則呢？它不是更符合經驗嗎？當然，第三定律值得通過建立其與其他定律的一致性和檢視關鍵的經驗證據來進行徹底的論證。
VII. 掌握遊戲 MASTERING THE GAME
要掌握物理學中的建模遊戲需要什麼？任何人都能做到嗎？還是需要一些特殊的天才？通過考察物理學大師的學術生活，我們可以瞭解到很多這方面的知識。但首先必須認識到，教科書和大眾媒體對這些英雄的不加節制的讚美，已經把他們的成就扭曲得與人的比例不相稱。正如愛因斯坦所警告的，我們必須警惕「那些沉醉於奉獻的人的普遍弱點，他們誇大了他們英雄的地位。」[26] 他承認科學的社會層面，說：「在科學中......個人的工作與他的科學前輩和同時代人的工作是如此緊密相連，以至於它幾乎作為他那一代人的非個人化的產物出現。」從教科書中，人們得到了相反的印象，例如，整個力學科學是由牛頓這個單一的天才創造的。這樣做的危險在於，它造成了科學與社會的疏離，因為它給人留下的印象是，科學家們在這個領域裡是與眾不同的，而很少有人能夠成為。
如果不是具有獨特的精神力量，那麼這種使一些科學家的成就高於其同行的「天才」品質是什麼？對作為天才標誌的具體創造行為的歷史背景和認知方面的仔細研究表明，關鍵因素是擁有一些特殊的啟發式方法（heuristic），也就是別人不知道的獨特的概念方法（至少，直到後來才知道）[27]。要回答這個問題，我們必須首先將牛頓的一般專業能力的證據與真正使他與眾不同的成就分開，即他的《自然哲學的數學原理》的創作。冷靜的歷史評估導致了這樣的結論：如果沒有《自然哲學的數學原理》，如果牛頓在40歲之前就去世了，他將被視為眾多有成就的科學家中的一個，而不是一個高大的巨人[25]。為了支持這一結論，讓我們來看看他的一些其他成就。
A. 牛頓的秘密 Newton's secret
牛頓是自學數學的，但從一開始他就能接觸到當時最重要的數學著作。他在一年內就掌握了17世紀的數學[24]，但這主要包括解析幾何和無限級數的課題，所以並沒有超過今天的大學數學學生在一年內所要學習的內容。更重要的是，牛頓以非凡的強度和徹底性追求這一課題，包括從頭開始對58種不同類型的平面立方曲線進行分類，所有這些都是他精心繪製的。他通過這種練習獲得的分析幾何的技術能力使他在餘生中遠遠領先於他的同時代人。牛頓被認為是微分和積分的發明者。
然而，他並不是第一個計算導數或積分的人，也不是第一個通過現在所謂的微積分基本定理將兩者聯繫起來的人[28]。牛頓的主要貢獻是將許多已知的例子綜合為一種對任何特定函數進行微分或積分的一般技術。這的確是一項偉大的成就，但在當時的數學氛圍中，這也是一個不可避免的頂點。任何其他有能力的數學家都有可能做到這一點。前人詹姆斯·格雷戈裡（James Gregory）在36歲時就已經非常接近了，而威廉·萊布尼茨（Wilhelm Leibniz）在訪問英國並學習了牛頓所知道的一些關於無限級數的知識後不久，實際上確實獨立地發明了微積分。如果歷史學家們在牛頓和萊布尼茨之間臭名昭著的優先權之爭中少花點精力去理清相互衝突的主張，而更多地去確定微積分出現的基本智力條件，我們也許會從這場爭論中學習到一些關於創造過程的情況。長期以來，將關鍵科學發明和發明的唯一優先權分配給個人的傳統在很大程度上掩蓋了科學創造中強大的社會因素。事實上，正如微積分的情況一樣，多個獨立的發現比單一的發現更常見，特別是當它們很重要時。[29]
在牛頓的傳記中，有很多關於牛頓在著名的鼠疫之年（1665）智性多產的言論，當時他23歲。但事實上，如果不是因為牛頓的巨大聲譽，這些都不會有成為更多古人的興趣。牛頓對萬有引力定律的 「發現」通常歸功於這一年，並常常以著名的蘋果掉落的故事來美化，其中隱含著對突然靈感的比喻。這肯定是一個神話，即使沒有蘋果，儘管它是由牛頓本人在《原理》出版後鼓勵的，可能是為了將「他的定律」的優先權儘可能地往前推，以保護它不受胡克激烈的優先權反訴的影響。他可能在1665年就猜到了平方反比的力定律，就像胡克後來所做的那樣，但他沒有能力通過建立與開普勒定律的聯繫來證明它。除了我們已經指出的他對動力學的理解有缺陷外，他的分析技術在這方面仍然是不夠的。
牛頓在同一時期發現了二項式定理（binomial theorem），這是他的分析和模式識別能力不斷提高的一個很好的指標，但它幾乎沒有震撼力，而且他從未發表過它。他對微積分的發明也是在1665年，但我們從這一主題的性質中知道，這不可能是一個突然的事件。雖然他很可能在那個時候就想到了他的基本方法，但他的微積分的發展至少持續了十年。他的方法的第一個書面描述是在四年後完成的，又過了兩年，他的導數的「超點符號（overdot notation）」才被採用。
歸功於牛頓在「瘟疫年」的最後一項偉大成就是發現白光是各種顏色的彩虹的組合。但事實是，牛頓花了多年時間才為他最初的見解建立強有力的實驗支持[24]。更重要的是，牛頓在隨後幾年裡的光學實驗的精確性，遠遠超過了他的同行們所認為的可能性。由此我們可以推測，他對實驗和數學理論都可望達到的高度精確性有了敏銳的認識。
一位著名的牛頓學者用以下的話總結了牛頓在著名的瘟疫之年的成就 [30]：
當1666年結束時，牛頓並沒有取得使他聲名遠播的成果，在數學、數學和光學方面都沒有。他在這三個方面所做的是打下基礎，有些基礎比其他基礎更廣泛，他可以放心地在這些基礎上進行建設，但在1666年底，沒有任何東西是完整的，大多數甚至還沒有接近完成。這樣的判斷非但沒有削弱牛頓的地位，反而通過將他的成就視為一部人類的辛勞和鬥爭的戲劇，而非一個神聖的啟示故事，來增強他的地位。他說：「我一直把這個問題放在我面前，並且'等著'直到最初的曙光慢慢打開，一點一點地，變成完整而清晰的光。」
作為牛頓非凡能力的證據，人們經常講述這樣一個故事：有一天晚飯後，他解決了著名的最速降線問題（brachristochrone problem），而歐洲的數學家已經在這個問題上僵持了幾個月。但是，考慮到今天一個優秀的本科生可以被期望在家庭作業中解決同樣的問題，這一表現究竟有多了不起呢。的確，學生所掌握的數學機器已經非常完善，但牛頓在四分之一世紀前就發明了微積分，並花了多年時間將其用於各種引力問題。此外，最速降線的解是一個擺線（cycloid），而牛頓從惠更斯（Huygen's ）關於鐘擺的偉大工作以及其他來源對這一曲線已經非常熟悉。還可以考慮這樣的說法：牛頓本人多年來一直被一個難度不大的積分計算問題所困擾，即證明一個球形對稱物體所受的引力就像其所有質量都集中在其中心一樣。
有了這一背景，讓我們轉向關鍵問題，即創造《原理》需要什麼。我認為牛頓的秘密有兩點：（1）他是第一個在技術上精通，並將微積分應用於實際問題的人；（2）他是第一個擁有一套完整而連貫的物理世界建模原則體系的人。換句話說，他是第一個有機會玩科學的第一個偉大建模遊戲的人。而他確實玩了！以魔鬼般的強度！《原理》就是這樣的成果！
牛頓最大的成就是鞏固了他的建模遊戲的規則。但請注意，這在多大程度上取決於他的數學能力。我們已經注意到這種鞏固是如何通過對開普勒問題及其雙體一般化的建模而最終實現的。這是一個需要所有正確規則的問題，但簡單到在數學上是容易處理的。因此，牛頓遊戲的規則在模型構建和驗證的過程中得到了鞏固，並符合數學一致性要求。可能可以總結為，牛頓為了玩遊戲而被迫發明了這些規則。
一旦知道了規則，任何有足夠技術能力的人都可以玩這個遊戲，就像後來許多人所做的那樣，取得了巨大的成功！那麼，《原則》的大部分內容是第一個玩好這個遊戲的人的記錄。它是通過應用強大的技術而不是神秘的直覺產生的。從這個角度看，牛頓的創造性壯舉可能顯得不那麼驚人。我們驚歎於牛頓數學論證的獨創性，部分原因是他的方法是如此笨重，以至於此後沒有人能夠完全掌握它們。在有人能夠改進牛頓的工作情況之前，世界不得不等待半個世紀，等待更好的數學工具和技術的發展，主要是來自歐拉（Euler）的發展。
我們可以從對牛頓智力領地的這種入侵中推測出什麼？我認為，牛頓的優先權問題的意義沒有通常想象的那麼大。在「他成功的秘訣」為人所知之後，其他人可以在力學方面與他媲美，甚至在某些方面超過他。即使沒有牛頓，經典力學的產生也是不可避免的，因為在牛頓出現之前，創建物理現象的數學模型的嘗試就已經開始了。如果牛頓沒有出現，經典力學的出現會被暫時推遲，但無論如何都會為20世紀量子物理學的出現做好準備。
這一切都不是為了貶低牛頓的成就，而只是為了承認它們是人類普遍創造能力的產物，而這種能力並非牛頓所獨有。這種能力無非是創造、闡釋和運用物理世界模型的能力。正如我們在牛頓理論的例子中所看到的，這種能力可以通過精心設計的數學工具和建模技術得到極大的提高。在考慮這些洞見如何幫助我們進行教學之前，把它們放在一個更普遍的視角來看是有幫助的。
B. 建構主義認識論 Constructivist epistemology
為了分析認識和學習的認知過程，我們必須把它們放在一個合適的認識論框架中。
圖1中的兩部分的認識論模型（model 和 physic world） 對於這個目的來說是不充分的，因為它忽略了人類思維的關鍵作用。因此，我們將其概括為圖5所示的三方模型。這與波普爾（Popper）和埃克爾斯（Eccles）[31] 的三個世界模型基本相同，儘管我們在這裡使用它是為了一個不同的目的。在他們的術語中，世界1指的是物理世界。世界2指的是單個個體的人類思維。世界3指的是被稱為文化的人類共享知識的世界，儘管我們在這裡把它限定為科學的亞文化，即科學知識的寶庫。它是一個由構成科學知識的共享概念組成的概念世界。這些概念是客觀的（objective），因為它們獨立於任何特定的個體，儘管不存在一個脫離了某人思考的概念。
【圖5. 建構主義認識論認為，對物理世界的認識是通過構建物理現象的模型來實現的。由科學家的合作行動所構建的客觀概念模型與個人頭腦中構建的心理模型是有區別的。關於三個世界之間相互作用的標籤是為了提示性的，而非定義性的。】
我們把圖5解釋為一個建構主義模型。建構主義有很多面貌，但它們都有一個基本原則，即知識是被建構的，而不是被發現的。在這裡提倡的版本中，基本的建構活動是建立物理現象的模型，但在個人頭腦中的心理模型和科學的概念模型之間有一個鮮明的區別。概念模型起源於科學家個人頭腦中創造的心理模型，但它們被賦予了客觀的形式，使它們獨立於它們的發起人。相反，一個人只有通過創造一個心理模型來再現它，才能理解一個概念模型。這些模型通過相似性聯繫在一起，但這種對應關係很少，如果有的話，是一種簡單的同構（isomorphism）。通常情況下，心理模型具有個人思維模式所特有的無關緊要的特徵，或者，在一個有經驗的科學家的頭腦中，它被整合到一個豐富而複雜的知識結構中，遠遠超過概念模型的明確範圍。
建構主義理論至少有兩個具有重要教學意義的主要含義。首先，它意味著理解是一種創造性的行為（understanding is a creative act）。正如費曼在他最後一塊黑板上對自己的忠告所表達的那樣：「對於我不能創造的東西，我就不理解。（What I cannot create, I do not understand）」[32] 這意味著，理解牛頓理論是一種高層次的創造行為，可以與牛頓的原始創造相媲美。牛頓理論不能像電視圖像那樣簡單地傳輸；它必須在學生的頭腦中重新創造，而且只有學生能做到這一點。為了推動這一創造過程，學生擁有比牛頓更強大的概念工具和更有力的暗示。而牛頓也不得不從他的前輩和同時代人那裡汲取暗示和工具。事實上，力學在牛頓時代之前似乎不可能被髮明，因為智力上的先決條件並不充分。牛頓不得不為自己而發展了這些先決條件中的最後一個，即微積分。
這種建構主義的視角應該對所有學生的創造力以及學習物理的困難產生巨大的反思。它還告訴我們，主動參與（active engagement，而不僅僅是被動服從）對於概念的改變是至關重要的。當然，正如我們已經指出的，行為發生的背景（上下文）也同樣重要。
我們的建構理論的建模版本的第二個主要含義是，模式識別技能（pattern recognition skills）對於理解物理學是至關重要的。模型可以被看作是在某種程度上與物理世界中發現的模式相似的模式。在數學模型中，模式是以數學形式表達的。事實上，數學被稱為模式的科學（The Science of Patterns）[33]。模式識別能力在理解和應用數學中的有趣作用並沒有得到應有的廣泛重視。
C. 國際象棋和物理學中的模式識別 Pattern recognition in chess and physics
建模和數學中涉及的具體模式的識別和分析技能是認知心理學的一項困難的研究任務，在這方面還沒有取得多大進展。然而，對國際象棋中的認知的研究已經產生了具有廣泛適用性的見解 [34]。有經驗的棋手已經發展出了重要棋子配置和組合（模式）的「知覺詞彙表（perceptual vocabularies）」，他們將其視為單位（units），並運用於評估位置和規劃走法。這樣的詞彙表，而非暴力的計算，是洞察國際象棋的基礎。對於最好的棋手（特級大師）來說，詞彙量已經超過50,000個，大約與博學的大學教授的詞彙量相同。教育學上最感興趣的問題不是詞彙的細節，而是如何學習，或者說，如何構建。
在物理學中，就像在國際象棋中一樣，大腦會從玩遊戲的經驗和研究好的遊戲的例子中，自發地發展出一套模式詞彙表（vocabulary of patterns）。
首先，下棋者的注意力被自動限制在棋盤上，在那裡可以找到模式。但是在物理學中，一個幾乎不知道遊戲是什麼的學生，很可能會注意到錯誤的東西，從而忽略了重要的模式，甚至學習了錯誤的模式（錯誤觀念）。因此，控制學生的注意力對良好的教學設計至關重要。本文的主旨是，學生的注意力應該被引導到模型和建模的過程中，在那裡可以找到重要的模式。如果缺乏系統性的注意力控制，學生在傳統教學下的學習就是漫不經心（hit or miss，大部分都錯失 miss ）！
與國際象棋的第二個區別是，物理學中的模式可以被賦予許多不同的表現形式（representations，例如，數學化的、圖形或圖表化的）。好的教學設計需要控制表現形式的選擇以提高學習效果。
至少還有一件關於教學設計的重要事情可以從國際象棋中學到。我提供一些我自己從國際象棋比賽中的觀察。美國有成千上萬的棋手定期參加有組織的國際象棋比賽，他們的成績有官方的數字評級，由美國國際象棋聯合會（United States Chess Federation）維護和公佈。根據官方的Elo評分表（譯註：Elo等級分制度是指由匈牙利裔美國物理學家Arpad Elo創建的一個衡量各類對弈活動水平的評價方法，是當今對弈水平評估公認的權威標準，且被廣泛用於國際象棋、圍棋、足球、籃球等運動。網絡遊戲的競技對戰系統也常採用此分級制度），業餘選手和專業選手是一起排名的，從初學者的幾百分到頂級特級大師的2800分左右。「大師」的稱號授予評分在2200以上的玩家。這個數字是業餘選手和職業選手之間的傳統分界，許多業餘選手以大師級的實力進行比賽，而職業選手必須達到更高的評級才能成功。不到1%的球員屬於這個類別。
Elo評分的記錄包含了大量關於認知能力的信息，但我只提供了一些非正式的觀察，我相信這些觀察會被系統性的數字評估所證實。評級對比賽成績有很好的預測作用，因此也是衡量認知能力的好方法。大多數比賽選手的等級在他們剛開始定期比賽時上升得相當快，在他們的餘生中保持相對穩定的水平，波動的標準偏差我估計小於100 Elo點。即使在長期遠離國際象棋或激烈的比賽活動之後，這種技能水平仍然保持不變。
一個顯而易見的問題是，為什麼技能的增長會如此突然，而且此後沒有明顯的經驗提高？一個合理的答案是，當模式的詞彙表大到足以進行常規比賽時，進一步的增長就不會被遊玩比賽的要求所誘發；舊的模式足夠了。這一點得到了觀察的支持，成為大師的棋手會在更長的時間裡持續提高。大師級實力的發展通常需要10年的時間。
這種持續增長的秘密似乎在於他們對遊戲的方法（approach）。許多具有明顯能力的棋手並沒有繼續發展。那些有能力的人的秘密可以從事後反思（post-mortem）的做法中看出，這在職業棋手中很普遍。對局結束後，對手們立即坐在棋盤前回顧整個對局，因為他們對比賽的記憶猶新，討論戰略和戰術主題，分析關鍵點上有希望的可選項，試圖找出輸棋等等。這是一個誘導概念轉變的理想活動，發現舊思維模式中的弱點（錯誤、誤解），並以更好的模式取代它們。這是促進皮亞傑（Piaget）所說的反思性思維能力的絕佳方式，即批判性地分析自己的概念預設和思維模式的能力。
前面提到的馬爾科姆·韋爾斯的教學方法中已經明確納入了事後反思，這當然是他成功的關鍵之一。在他以實驗室為基礎的課程中，進行實驗、收集數據和所有這些只是實驗室活動的前半部分。後半部分是對前半部分的事後總結，涉及全班約24名學生。這可能是最重要的學習過程發生的時候，但必須有技巧地設計和指導。
另一個可以通過系統性的事後分析改善教學的地方是問題解決。大多數學生提交的家庭作業很少顯示出反思性思維，而反思性思維對高水平的技能發展是必不可少的。即使是研究生也對最敷衍的問題解決方案感到滿意，只要能得到夢寐以求的「答案」就可以了。但是，最深入的學習機會是在問題解決後的事後分析，解決諸如「解決方案的關鍵是什麼？論證可以簡化嗎？如何驗證這個結果？還有沒有其他的方法來解決這個問題？哪一種是最好的？這個問題和解決方案可以被推廣嗎？這個結果有什麼意義？」這樣的問題是專業物理學家的反思性思維的特點。也許它在學生中是如此罕見，因為很少有人去促進它。
反思性思維對於掌握物理學的技術技能至關重要。實踐是不夠的，因為如果沒有反思性思維的指導，很可能會被誤導。技術掌握的重要性不應低估。我們已經注意到它對牛頓的偉大成就是多麼關鍵。追溯到牛頓，劍橋大學有著推動數學技能掌握的悠久傳統，併產生了偉大的物理學家——斯托克斯、麥克斯韋、羅利和其他許多人。費曼在他的最後一塊黑板上給自己的建議包括 [32]：「知道如何解決所有已經解決的問題。」他的意思肯定是，一個優秀的理論物理學家必須掌握他的領域中成功的推理模式。哪裡可以找到這些模式呢？當傑出的挪威數學家 Niels Henrik Abel 被問及他是如何迅速躋身前列的，他回答說 [35]，「通過學習大師，而不是他們的學生。」當牛頓被問及他是如何發現萬有引力定律的，他回答說，「通過不斷地思考它！」[36] 他的專注能力的確是非常出色的。偉大的技能和偉大的成就來之不易。
對技能發展及其教學意義的討論不應迴避先天性的天賦問題。牛頓在23歲時智力發展迅速，經常被認為是他的自然天才的證據。然而，我認為，這種快速發展是一種相當普遍的現象。這在著名物理學家和數學家的傳記中當然很常見，總是被認為是天才的標誌。但是沒有人費心去研究它在名氣較小的科學家的生活中是多麼常見。我曾多次在研究生中注意到這一點，最近一次是在一個最初被我認為是無可救藥的中等學生中，他的成績突飛猛進。根據我自己對數據的瞭解，我猜測它可能發生在多達1%-10%的棋手身上，當然這取決於快速上升的標準。然而，我們知道，要使這種上升持續到高水平的能力，有利的條件是必要的，而且必須由反思性的思考和強烈的努力驅動。天賦是一個先決條件，但多少才算足夠？我們再次從國際象棋中得到線索。
這裡是我自己的觀察，但我發現它們與大師們在談話和發表的言論中表達的觀點一致。棋手之間似乎有一條自然的分界線，即 Elo 評分約為2000——官方指定的專家水平，只有百分之幾的比賽選手達到。超過這個水平的棋手的棋藝似乎與大多數低於這個水平的棋手的棋藝有本質的區別。這種區別可以被描述為一種戰略意識（strategic sense），大師們很容易從棋手的選擇中識別出來。擁有這種戰略意識的棋手——也許是排名在2000名以上的所有人，可能有能力通過足夠的努力和訓練接近大師級水平。但沒有這種戰略意識的棋手似乎無法跨越甚至接近專家級水平，無論他們如何努力。
當然，有些具有戰略意識的棋手只有中等水平（但絕不是低水平），因為他們沒有花費達到專家水平所需的專注努力。戰略意識可以通過經驗和訓練來加強，但它顯然有一個先天的基礎，因為它可以在新手的棋局中被識別出來，即使他們還很年輕。傳聞證據表明，一個大師在調查新手的棋局時，可以很可靠地識別出那些可以發展成為好棋手的人。
如果合格的物理學研究需要與國際象棋中的戰略意識相媲美，正如我所相信的那樣，我們可以運用國際象棋的結論，對有能力從事物理學研究的學生的比例作出類似的估計。我們對科學人才的瞭解實在是太少了。可能我們的學校在壓制人才方面比培養人才更有效。不過，我們確實知道，傳統的物理教學有許多不足之處。只有通過在教育研究和發展方面的巨大努力來消除這些缺陷，我們才能發現教學的有效性，並對物理學人才的儲備做出可靠的評價。
同時，讓我們注意到，儘管很少有人能成為國際象棋大師，但幾乎所有的人都能下一盤足夠好的棋（credible game），並欣賞大師們的成就。物理教學至少應該能夠提高普通物理學生的能力和鑑賞力，達到一個類似的水平。
VIII. 結論 CONCLUSIONS
大多數初學物理的學生都在浪費時間，玩著錯誤的遊戲。他們認為遊戲是為了收集事實和記憶程序。這使他們對物理學的結構和它對物理世界結構的洞察視而不見。
建議的補救措施是「以模型為中心的教學（model-centered instruction）」。從一開始就應該告訴學生，物理學的遊戲是發展和驗證物理現象的模型。他們應該明白，像牛頓力學這樣的物理理論是一個連貫的設計原則系統，用於構建這樣的模型；換句話說，理論是一套有效的規則，用於玩建模遊戲。學生們必須通過分析模型如何運作和在各種物理情形下的部署來描述、預測、解釋現象，或設計實驗和設備，從而發展出一套非常熟悉的模型庫。這些模型必須是他們自己構造的，在某種意義上，這些模型被整合到他們的思維中，作為理解物理現象的概念工具。玩建模遊戲應該幫助他們學習科學的目標和方法。
以模型為中心的教學可以通過許多不同的方式實施。Richard Hake 和 Arnold Arons 是物理學教學中蘇格拉底方法的直言不諱的倡導者[2]。在這種方法中，教師不是信息的來源，而是學生之間討論的主持人（moderator），他用探究性的問題來激發學生的討論，誘導他們表達、澄清、批評和證明自己的信念。這種方法至少有兩個主要優點，應該被納入任何教學計劃：（1）它將控制權從教師轉移到學生身上，使學生對自己的信念和判斷負責。它是以學生為中心而不是以教師為中心。(2) 它鼓勵反思，引導學生深入瞭解自己的思維過程。簡而言之，它促進智力獨立（intellectual independence）。然而，純粹的蘇格拉底方法有嚴重的弱點：它沒有系統地導向具體的目標，而且它缺乏一個引入新思想和概念工具的機制，以提高討論的質量。
由於這個原因，應該採用改良的蘇格拉底方法，在這種方法中，教員引入思想和證據，以加強和指導討論。但這必須謹慎進行，以免干擾學生獨立性的培養。為了達到最佳效果，蘇格拉底式會談必須在整個課程中具有連貫性。在早期，學生們必須對提出問題、制定答案和評價證據的標準達成共識。以模型為中心的教學為所有這些提供了一個連貫的框架，正如本文所解釋的，包括對科學方法的明確表述。教員可以通過提出這樣的問題來刺激學生將這一框架融入他們的思維：「什麼是有益處的物理系統，它與環境有什麼互動？我們應該採用什麼模型來描述這個系統？該系統的哪些屬性被建模，哪些被忽略或被忽視？該模型對數據的解釋如何？」其目的是促進對科學知識和論證結構的洞察，並幫助學生使之成為自己的知識。馬爾科姆·韋爾斯成功地將這種方法用於實驗室活動的事後反思。事後反思應該是學生建模遊戲的一個慣常特徵。
這篇文章旨在對以建構主義認識論為基礎的教學理論作出貢獻 [21]。作為以模型為中心的教學的基礎，牛頓理論和應用已經用遊戲的形式表達出來，希望這將有助於吸引學生的興趣和加強對該學科結構的洞察力。我們已經回顧了這種方法在物理學、認識論、哲學和教學法方面的廣泛理由。然而，教學理論在指導教學設計方面的價值還有待證明。這裡不能討論實施過程中的諸種興盛。我們只注意到一個早期的、不完整的實施方案[37] 和馬爾科姆·韋爾斯的高中版本[22]已經產生了令人鼓舞的結果，但是在揮舞任何旗幟之前，還必須取得更多的成果。理想情況下，這篇文章將吸引一些以此為己任的讀者。
致謝 ACKNOWLEDGMENT
This work was partially supported by a grant from the National Science Foundation. 這項工作得到了美國國家科學基金會的部分支持。
參考 REFERENCE
日 | 落譯介計劃 是媒體實驗室落日間對一些有助於思考遊戲/電子遊戲的外文文本翻譯和推薦/索引計劃。（查看網站）
遊戲-自然-科學
David Krakauer 與達爾文下圍棋 Playing Go with Darwin (2020)
Jonathan Blow 遊戲設計的真如 Truth in Game Design (2011)
Michael Nielsen 重塑解釋 Reinventing Explanation (2014)
Stephen Wolfram 作為多重計算系統的遊戲和謎題 (2022)
Bruno Latour 視覺化與認知：把事物畫在一起 Visualisation and Cognition (1986)
感謝支持落日間的朋友
歡迎讚賞或在愛發電贊助落日間