前言
一些游戏设计的数学基础，无 AI。但有自信这篇文章可能比真的AI写的还无聊哦~｛・ω -*}
V哥3代青年才俊是真的帅！以及3代独有的背后收刀动作
基础数学
- 阶乘 Factorial: 3! = 3 x 2 x 1 常用于各种概率计算中
- 排列Permutation： 常写作 nPr 代表 n个样本中取 r 个 有多少种排列，排列在乎顺序
- 组合Combination： 常写作 nCr 代表 n个样本中取 r 个 有多少种组合，组合不在乎顺序
- 条件概率Conditional Probability： P(A|B) 代表 已知B随机事件已经发生的情况下，A随机事件发生的概率
- 期望 Expectation： 用于衡量随机事件的平均收益
- 方差 Variance： 用于衡量随机事件的离散度 方差越大 随机事件的结果越离散，给人感觉越“随机”
- 随机方程 Random Equation： 用于生成随机数/随机数列的特殊方程，具有[确定性 deterministic]的特质，即 如果输入同样的随机种子时，会生成固定的随机数。
- 随机种子（简称“种子”）： 随机方程开始生成随机数的必要初始条件，一般可以为任意数字。如 1 / 3.1415926 / 888888888 等
- 热噪音 Thermal Noise ： 指计算机电路中不可控的细小电压变化，在一些较新的芯片中可以被用来生成真随机数。
- RNG （Random Number Generator） 随机数生成器： 热噪音 和 随机方程 都属于RNG的一种实现方式。
- 信息熵 Shannon Entropy： 信息学/密码学概念 可以用来衡量任意一串数据带有的信息量，主要用来衡量数据更可能是随机噪音还是人工编写的信息，也用于 Frequency Analysis词频分析 用来破译密码。
基础版本的排列/组合/概率
做游戏设计时，设计一个随机事件 该事件单次的发生概率 反而是比较次要的。
- 期望 = 玩家触发后的收益
- 方差 ≈ 玩家实际感受到的概率（随机性）
- 触发频率 ≈ 实际概率 + 时间成本
这3者都比一个单次触发概率重要的多。
滚5这把魔神武器 改成 2%概率造成50%最大血量伤害 都是不是这个味道
计算机硬件实现：基于随机方程 vs 基于噪音/热噪音
现在主流游戏引擎还是在使用随机方程生成随机数，这样
1.可以使用固定随机种子 重现一些bug 更方便排bug
2.可以操控触发频率低事件的实际发生概率
现在主流的做法把这一刻的时间戳作为基数，做一些简单的修改后作为随机种子。被逆向/被利用的可能性也已经低到可以忽略不记了。
基于热噪音则是可以做到真正的不可预测。大部分现代CPU都是有这个功能的，但是不是所有的编程语言都做了对应的适配。有些研究认为热噪音虽然不可预测，但是产出的数列分布不够随机，可能还是需要通过传统的随机方程去除偏向性（debias）。
真随机 vs 伪随机
上述的随机方程和热噪音其实都算是真随机分布，但是电子游戏特别电子竞技为了保证是一场技术之间的较量 而不是单纯一方运气好，会采用一种特殊的伪随机分布。
自Dota2 Wiki : 25%概率触发的事件 需要几次攻击才能触发（下方横轴）
如果使用伪随机分布，一个25%概率触发的攻击特效在第一次攻击时触发的概率更低了(图中7%)左右，但是在第3次 第4次攻击时触发的概率则要高上不少。这样实际结果会更接近 每4次攻击触发1次攻击特效。
伪随机 vs 真随机 还是个还在争论的议题，像 Dota2 PA的暴击也经历了 真随机->伪随机->固定攻击次数后必定触发 等多次改动。
做拆解 / 反推：
1.利用信息熵(又名 香农熵 Shannon Entropy)在不知道概率（假设所有可能结果概率相等）的情况下，反向去推测这一系列事件/样本 更可能是随机事件 还是 更可能是人为操控的事件。例如：一个公平的6面骰（D6）的信息熵（此时为最大信息熵）约为 2.85单位，一个做过手脚的骰子（如 50%概率投中1）的信息熵会只有2.1单位左右，小于最大信息熵。
2.利用 标准差（Standard Deviation） + 百分位数（Percentile）也可以在正态分布样本中去反推这个样本是否符合正态分布。例如：约 95%的数据应该集中在 平均数± 2个标准差的范围内。
*总之有一个足够大的样本集了就什么多好说。难点是怎么收集样本。
非理性的概率
现实生活中的人和经济学中“理性经济人”相差甚远 这个现象已经不新鲜了。心理学 金融行业 游戏行业 都重新“发现”过这个现象。
先列一些相关概念
- 损失收益分析 Risk and Return Analysis / Pros & Cons 在做决策前，先把做这个决定带来的收益 损失 成本 等要素列出来，然后再权衡利弊。有助于避免逻辑谚误。
- 利益相关者分析 Stakeholder Analysis 在做决策前，先把和这个决定决定相关的所有利益相关者 和 他们对应的利益列出来，然后再权衡利弊。有助于从多个角度思考问题。
- 阿尔法 贝塔收益 Alpha return vs Beta return 阿尔法：超额收益 比市场价 市场平均收益高不少(可参考为一个标准差）以上的收益 贝塔收益：循规蹈矩情况下能拿到的平均收益
- 逻辑谬误 Logical Fallacy 因为人脑的生理性本能 容易出现的逻辑错误
- 决策模型 Decision Making Model 为了避免人脑出bug 总结出来的一些常见逻辑思维模型
- 独立的批判性思考 Independent Critical Thinking 俗称“实事求是”，人类个人能达到的理想理性状态
价值并不等价：损失厌恶RiskAversion / 展望理论ProspectTheory
人类对于 价值 或者说是 资源的感知是分方向性的，而且对损失 情绪上的反应要更大。
假设有这么一个场景
一天走在街上，一个陌生人想你靠近 礼貌地问好后，询问你 “你愿意和我赌一次抛硬币吗？您赌对了 我给您50元，您赌错了您给我50元。”
此时大多数人是会拒绝的。（类似的实验做了很多次 跨越多个文化区域 有60%~80%人都拒绝了
选项1：拒绝 = 100%期望收益为0
选项2：接受赌约 = 50%概率收益为+50 / 50%概率为-50% / 总期望依然为 0
数学上来说两个选项是完全相同的 也应该有50%左右的选择[选项2]，但是对于人来说不一样。所以更多人会拒绝。
用户的心理锚点 / Framing Effect 边框效应
人类对于收益和风险的认知还很容易被环境/上下文/说话方式 给影响。
一天走在街上，你发现你丢失了100元。 一个陌生人想你靠近 礼貌地问好后，询问你 陌生人：“你愿意和我赌一次抛硬币吗？您赌对了 这100元我原样奉还，您赌错了 我就笑纳这100元了。” 你：“那么我拒绝这场赌约呢？” 陌生人：“那么我只还给您50元”
一个比较理想化的奇怪情况，但是如果说是已经丢失了部分钱财，为了取回这部分钱财时 人们会更愿意冒风险(参考股民心理）。虽然这次两个选项的期望值也是一样的，但是比上场实验更多的人会选择接受赌约。
游戏设计中的物资囤积问题（Horading）
正因为人们对损失/风险更加敏感，游戏中哪怕物资的获取正好赶得上消耗，玩家也更习惯于囤积大量的物资来应对“可能”的超级大战。而不是选择在日常战斗中适时使用来让游戏体验更好。
可能的一些解决方案
1.让物品产出 > 1.3倍投入了的物品消耗：个人观察就游戏来说 20%~30%的额外收益足够让玩家选择克服50/50概率所带来的不安 去选择搏一把。
2.降低物品存储上限（捡到新的同类物品自动使用）：最终幻想16使用的设计，本身数值压力不大的情况下，玩家为了避免[在不合适的时机自动使用掉贵重道具]的损失，反而会自己考虑让库存不要满。
在 游戏变现/Monetization 的应用
各类游戏的每日任务 每周任务 / SeaonPass 通行证
WarFrame 星际战甲的每日登入可能会拿到限时的充值折扣
无畏契约 Valorant 的黑市折扣
都是先“免费”给玩家一些（超额）收益（的假象），玩家为了获得这部分收益 也就很多时候会选择在自己没有真正需求的时候购买了。
基于时间成本的收益/成本计算
一个事件的成本实际上是基于时间/情绪成本等多方面的概率计算
如果有一个需要玩家主动挑战的可选挑战，例如怪物猎人的老山龙或者其他古龙任务来说。
3种成本
1.遇到这个机会的时间成本：只对特别想要挑战这个挑战的玩家来说是成本
= 等待老山龙出现 参加其他狩猎任务的时间 （可以通过合理规划任务 减低）
2.参与的直接成本：玩家可以选择参加或者不参加
= 参加老山龙任务的契约金 （可以视为 一旦选择参加就瞬间沉没）
3.玩家参与过程中的时间成本：玩家可以靠终止挑战来减少这部分成本
玩家实际尝试击退老山龙任务中消耗的药品 玩家自己操作的时间 （已付出的部分已经沉没 但玩家随时都可以做止损决定）
玩家自己感受到的成本 和 设计时考虑到的成本 往往差距很大。
就像工作没事也强制加班一样，只是获得了加班的金钱收益，失去的是用来自我提升/好好休息的机会成本。情绪成本/机会成本也是成本。
比较好的的补偿/收益不是 直接给玩家 +30%的价值原有东西，而是 原有的东西如数奉还 再搭一点其他等值30%的东西一起。追加 30%补偿 在玩家眼里 可能因为是不需要的部分 实际价值未必有 30%。
同时比如说[遇到这个机会的时间成本]较高的情况会让机会一些收益被高估。这也是为什么 FearOfMissingOut 星际战甲和无畏契约的策略很有效。
设计目的：加入随机元素是 需要/想要提供什么样的游戏体验？
人类不是喜欢随机性本身而是喜欢
1.逐步掌握和消除随机性 ( 中性的+对自己不利的）
2.随机性站着自己这边 自己在劣势的时候以小博大 突然翻盘
不同种类的随机设计元素
- 结果随机 各类RPG中常见的设计 诸如：暴击 / 命中 / 伤害浮动 等设计
- 问题场景随机 肉鸽游戏中常见的设计 诸如：场景中的敌人种类 / 数量
- 可选解决手段随机 诸如：肉鸽中的各类成长 / 传统牌类游戏 手中的卡牌 / CS中的Arm Race军备竞赛模式
- 纯表现 / 不显著改变收益期望的事件 诸如：暗黑破坏神的的奶牛关+宝藏哥布林 鬼泣的随机挑衅动作 *老滚5的处决 因为不像鬼泣那样可以随时取消 收益很不稳定 难分类
一些随机元素的设计目的
- 延长游戏时间 为了体验服务 太过随机会出现完全无法克服的问题 = 拖时间
- 提供更多变的游戏体验 前提你需要有那么多内容/ 乐趣 不会因为你增加了随机性就上去
- 只是“建议”玩家尝试一些其他选项 鼓励玩家尝遍游戏所有内容
- 缩小一些极端情况 缩小体验上下限差距 参考 Skill Based Match Making vs Random Match Making 团队竞技中随机性缩小了 游戏技术差距可能导致的完全一边倒情况
好的设计案例
- 黑魂1：不死教区的黑骑士布怪 和 黑骑士装备掉落 | 巴德骑士装备
- 口袋妖怪：概率遇到闪光神奇宝贝 / 红蓝宝石的幻之岛（Mirage Island）
- 雨中冒险2：57叶草
- 怪物猎人P2代：猫饭的结果也带有一定随机性，玩家可能出现利于采集/利于狩猎的不同技能 - 》需要去采集任务洗掉效果 （鼓励玩家进行狩猎生活 而不是一味清任务赶进度
- 彩虹岛：在特定地图使用[挖掘]动作概率开启特殊副本 贝希摩斯肚子
- 我的世界：唱片和生物头颅的获取方式 1.概率获取 2.引导怪物之间互相击杀 稳定获取
- 生化危机4/5代：黄金鸡蛋
一些可以遵循的普遍性规律
- 多人和单人要分开谈 所有人都很幸运 等于 没有人幸运
- pve pvp 随机性设计要分开谈
- 随机性搏上限 技巧+资源 保下限 是个不错的思路
- 最好有多条路径都可以达到玩家想要的结果，有 随机但低成本的 和 稳定但是成本更好的 多种方式达到目的。
- 好的操作 好的事件就该是正向的结果 随机性不应该使好的事件带来负面结果，或者说随机性也不应该让玩家直接从劣势中瞬间翻盘拿下胜利 最多让幸运的劣势玩家重新回到均势对抗状态。
- 期望上给玩家带来负面收益的事件 无论什么游戏 慎重投放
非要有随机性吗？：TRPG -> CRPG->现代电子游戏的一点回顾
TRPG 桌面游戏 / 跑团 时代
是一个熟人爱好者为主的游戏形式，有很强的社交属性。且不同于象棋等标准1v1棋类那种参加双方都有一定关于输赢胜负的心理准备的情况，大家更多就是为了图个乐子 一起插科打诨消磨时间，利用【随机性】决定反而是最公平的。
真为了过力量判定，直接趴在地上做20~30个俯卧撑还计时 那也确实挺魔怔的。同时 高手vs高手 菜鸟vs菜鸟 的胜率也都是 50%，可以粉饰一些人与人之间的实力差距，熟人之间因为游戏争个你强我弱也伤感情。
同时因为游戏形式的限制，也不太能引入复杂的数学运算如累乘/指数
CRPG / 早期电子游戏 （2000年前后）
此时对于3D即时战斗的 图形技术 物理碰撞检测，都没有那么成熟。大部分游戏还是在2D到3D的过渡阶段。很少游戏能真正做出 玩家在阴影了敌人就看不见，书架上的烛台有些许微小的不对劲其实有暗门 这类设计。所以还留下了很多随机要素。暗黑系列 算是当时设计思路的经典。
这个时期开始引入一些 基于物理判定 或者 基于美术表现(画面/音效）的一些游戏机制。
3D电子游戏时代
电子游戏模拟现实的能力成熟后，比如敏捷/闪避/命中 机制，都可以被实时战斗中回避 Just回避 弹反等机制给模拟了，比起概率命中提供了玩家更有控制权的体验。
个人思考：
对于一个复杂即时战斗的3D游戏 有必要采用随机机制吗 ？比如只狼？比如星际争霸？比如战地风云/CS？不需要吧。
玩家自己的行为就是一个很大的随机因素了，不同玩家对于不同要素（强度 / 探索感 / 故事 / 风景）等很多要素的响应强度也不尽相同。只在晚上特定区域 龙之信条晚上按照固定路线巡逻的无头骑士 幽灵牛车 / 黑魂的结晶蜥蜴，这些不是随机 但是感觉随机，能带来探索惊喜的设计比起随机来说好得多。
同时如果有大量 1点 2点 的蹭伤（比如CS的手雷 燃烧弹），用来打破一些特别关键的 34 x 3=102 25x4=100 这种斩杀公式（又称 断点值 break point value)。整个数值系统偏向模拟连续 continuous 数值，而不是离散 discrete 数值。那么就更加没有必要引入随机概率事件了。
那战地3/4/1代来说 或者 CS来说，玩家根本没有办法预测自己这个距离 需要多少枪才能击杀对手。只能说是尽量压枪瞄准，没有功夫过度思考 破坏沉浸感。
但是单纯拼技术也带来很多问题，技术上一些微小的差距会在电子竞技中被放很大。 比如 星际争霸2 Serral 就因为他的有效Apm 很高，虫族虽然吃Apm 但是战术选择上在虚空之遗现在版本前中后期又是没有弱点，造就了 Serral 极其惊人的 70%+胜率。Serral 强吗？确实比其他职业选手操作上强上不少 他胜率应该大于 50%，但是应该在多少合适呢？70%的胜率 也意味比赛基本不用看了，最后大概率就是Serral赢。
美术表现相关
一堆战利品 / 金币突然炸出来是真的很有快感的一个设计。
雨中冒险 2 RiskOfRain2：高等级怪物掉落大额金币时，喷出的也不会是一大堆金币，而是多个大大的金块/金币袋子。既直观 又节省了渲染资源。
无主之地系列特色：击杀Boss后战利品真的会“满天”
龙之信条1代：根据怪物掉落的金币数量不同，会出现不同大小的金币袋子。
雨中冒险 2 RiskOfRain2：高等级怪物掉落大额金币时，喷出的也不会是一大堆金币，而是多个大大的金块/金币袋子。既直观 又节省了渲染资源。
无主之地系列特色：击杀Boss后战利品真的会“满天”
龙之信条1代：根据怪物掉落的金币数量不同，会出现不同大小的金币袋子。
雨中冒险 2 RiskOfRain2：高等级怪物掉落大额金币时，喷出的也不会是一大堆金币，而是多个大大的金块/金币袋子。既直观 又节省了渲染资源。
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赌博成瘾 和 变现/付费 相关
赌博陷进去的成瘾者很多还是社会支持出现了问题，如果一个家庭幸福美满 人际关系和睦 事业有建树 且 对赌博背后的概率有一些基础了解的人是几乎不可能赌博成瘾的。要么是想证明自己 要么是想麻醉自己 要么想翻盘。。。。该死的麻绳总是专挑细处断啊。。。
弹子机（帕青哥） / 超休闲游戏 很多都是靠夸张的感官刺激去唤起过去美好的记忆 屏蔽当下的痛苦。卷的是美术/音效 和概率关系小很多了，日本也对于每小时可以走得弹子数量 / 赔率等做了很详细的规定。
热更新 Hot Fix + 大小月卡 + 概率抽卡 + 保底设计，这些本质还是说在游戏内容和品质一定的情况下 通过模糊定价 尽可能把游戏卖得更贵。和早年MMO的积累货币 概率强化 等设计是很相似的原理和目的。我个人觉得在这些上面做技术投资 风险较高，没做很多研究 还请大神补充。
结语
本来想用《上帝不会掷骰子》作为标题的，但是 Alea iacta est / 骰子已经被掷下！所以！
所行正义之人 理应无所畏惧 ！
出处：Netflix 剧集《隐藏关 Secret Level》中战锤40K部分
中二病犯了。。。别管我。。。吃好 睡好 保持好心情 其实人自然对于一些牛鬼蛇神抵抗力就高了 别内耗 好好生活。
引申阅读 / 参考资料：
- What Makes A Good Luck Mechanic? - By Design Doc
- The Two Types of Random in Game Design - By Game Maker's Toolkit
- The Delta of Randomness - Can You Balance for RNG? The Price of Randomness - Balancing RNG More Ways to Use Randomness - What is the Goal of RNG? - By Extra Credits
- Behavioral Economics - By Edward Cartwright
- The Game Rules of the Game - By Neil Strauss
- Edward Bernays 的一些著作
- 任意大学入门级别 统计学 / 概率论 教材
- Dota2 Wiki:Dota2中的伪随机 中文版本
- 血条进化史v2.0.0：数字与公式
- 明牌暗打：游戏中战术博弈相关的二三事
- 游戏数值设计：上限/体验边界的确立
- 决策模式
- 逻辑谚误