今天你將面對的是一道拔高題，對於所有moc玩家來說，這篇內容也許會挑戰你的全部數學知識貯備，但請相信我，讀物之後對你會有很大啟發的。
首先問幾個問題，你在平時拼樂高的時候是否看到了蘊藏在裡面的數學奧秘？以及數學是如何運用在樂高當中，進行一次完美的搭建？
為了幫助回答這些問題，我們很高興編譯這篇來自bricknerd的Deep Shen的客座文章，討論那些隱藏的樂高當中的數學謎題。
隱藏的數學謎題
每次當我搭建官方套裝的時候，我都感覺這是一個讓我身心非常愉悅的過程，我相信，所有的AFOL也大多會有這樣的感覺。當我們打開包裝盒，排列所有編號的零件包，然後根據說明書開始將所有搭建好的成品放在一起的時候，總是令人感到興奮。但是久而久之，我們會遇到一種讓我們感到困惑的問題，總是讓我們想去了解和挖掘：“這些設計師是怎麼知道應該這樣去搭建的？”
可以肯定的是，答案就潛伏在所有樂高積木背後隱藏的數學奧秘中。當我們搭建一些建築物的時候，將樂高零件置在規則方形網格的範圍之外，以創建有角度的牆壁或者圓形。在這個過程當中，我們就會遇到很多關於數學的問題。
但是如果數學是樂高搭建過程中不可或缺的一部分，這是否意味著樂高設計師需要隨時準備好計算器或白板來計算數字？
然而並不是，樂高搭建的美妙之處在於，有無數種不同的方式將各個部分組合在一起。如果您能花足夠的時間玩樂高，那麼您一定會發現一些新的有趣的技術，而並不總是瞭解底層的數學邏輯。
有時我想知道新的套裝中的出色連接是由數字計劃出來的，還是隻是設計過程中的發生的偶然事件。不管是什麼原因，作為一個技術控，我對官方套裝中使用的一些巧妙技術，進行逆向工程以試圖揭示使它們起作用的數學邏輯，是非常令人著迷的。
注：今天的文章可能有些枯燥，各位看官，請耐心看完，小編我儘量將這些枯燥的數學原理，說得有趣一點。
用到勾股定理的斜面牆壁
讓我們從街景系列——10297精品酒店開始說起。它於2022年1月1日發佈。看到這個套裝的第一感覺，就是讓小編注意到，這座街景建築，它的斜角設計，並不是尋常的三角形形狀。
眾所周知，樂高是基於規則的方形網格進行搭建的，那麼它們是如何做出這個形狀的，我們能弄清楚它背後的數學原理嗎？
如果我們經常搭建樂高，就會發現，將樂高積木放在相對於樂高平面網格0/90/270/360度以外的任何角度方向，都很難確保將磚或板兩端的顆粒對齊。
樂高網格上的顆粒，僅在得到的直角三角形滿足勾股定理 (a²+b²=c²) 時才有效。最小的勾股定理是 (3,4,5)，這就是精品酒店裡使用的基礎數學。但它使用勾股定理表現的方式並不明顯。實際上，如果您查看此建築中的斜面牆壁，您可以數出六個獨立的 (3,4,5) 三角形，甚至包括兩個彼此相交的三角形（下圖三角形序號4和6）。
鑑於三角形1-4的斜邊（最長邊）是用長板連接在一起的一條直線，我們甚至不需要連接三角形 1 和 4 的外端。三角形 5 和 6 的斜邊位於與連接三角形 1-4 的斜邊成直角的直線上。
鏡像斜邊搭建技巧
當我們分析精品酒店這棟建築的時候，分隔建築物三層的地板部分和屋頂部分是使用普通板和楔形板建造的，並且不知何故，它們的傾斜側面與建築物的傾斜牆壁能夠完美對齊。難道這都是巧合？小編髮現並不是。我們需要進入一些基本的三角幾何數學來解釋這一點。
在直角三角形中，對於任何一個較小的角，與角相對的邊與相鄰邊的長度之比稱為切線。無論三角形的大小如何，這個比率對於給定的角度都是固定的。如果我們已經知道比率，我們可以使用正切函數的倒數或反正切函數（在大多數科學計算器中可用）來計算角度。在 (3,4,5) 三角形中，最小角的切線為 3/4 = 0.75，其反正切值為 36.8 度。
如果您查看精品酒店的地板部分或屋頂部分，您會發現他們使用兩個鏡像的 6×3 楔形板來創建傾斜的一面。每個楔形板都有一個直角三角形，其切線為 2/6 = 0.333，其反正切值為 18.4 度。因此，這些楔形板中的兩個將給我們一個 36.8 度的組合角度，與我們在傾斜牆上的角度相匹配，這是有道理的。
我們可以使用公式來計算給定角度兩倍的正切來確認這一點。
代入數字，我們看到由楔形板產生的角度的兩倍的正切為 (2 x 1/3) / (1 – 1/9) = 2/3 x 9/8 = 3/4，這與由 (3,4,5) 勾股定理創建的角度的正好吻合。這樣搭建，就讓作品看起來很整潔，是不是？
此處使用楔形板的方式是“鏡像斜邊”技術的常見應用。這繞過了這樣一個事實，即對於任意直角三角形，斜邊的長度並不總是整數。由 6x3 楔形板創建的三角形的斜邊是 √(6² + 2²) = 6.32 個顆粒。即使我們不能沿斜邊放置樂高元素，我們也可以通過沿斜邊直角三角形並將樂高零件沿第二個三角形的其他兩側放置來創建傾斜的牆。這兩個三角形必須使用鉸鏈板固定在一起，這正是10297精品酒店套裝中所做的。
使用轉盤進行斜牆的搭建
有角度的牆也可以用轉盤建造，你可以在多個官方套裝中看到這一點。讓我們以80107新春燈會為例，其中使用 4×4 轉盤將拱形人行天橋以一定角度連接在錦鯉池上方。
樂高轉盤由一個可以像普通板件一樣安裝的底座（2×2 或 4×4）和一個可以 360 度自由旋轉的頂部組成。2×2 底座需要匹配的頂部元件，而 4×4 底座可以容納各種樂高零件，包括 4×4 圓板。
即使我們使用轉盤來創建傾斜的牆（或以一定角度連接的結構，如下圖所示），我們本質上是在創建滿足勾股定理的直角三角形。這個三角形的邊與轉盤上的旋轉軸（頂板的中心點）相交。本例中使用的勾股定理三元組是 (6,8,10)。
使用“三倍數”的斜牆
正如我們所看到的，如果我們只限於勾股定理三元組，我們就沒有更多的選擇。勾股定理的大多數應用都使用最小和最常見的三元組（3,4,5），如精品酒店套裝或新春燈會中的倍數（6,8,10）。
但是在某些情況下，可以稍微逃脫嚴格勾股定理三元組，但對於實際目的來說足夠接近的三元組（三個數字的倍數）。我喜歡稱這些為“三倍數”。
當我們使用“三倍數”創建有角度的牆壁時，使用像鉸鏈這樣自然有一點擺動空間的零件，總會有出人意料的效果。這可以最大限度地減少您在連接有角度的部分時對樂高元件施加的壓力。
我經常在我的構建中使用像 (5,5,7) 和 (7,7,10) 這樣的“近三倍”，其中一些具有額外的優勢，允許我們以 45 度角創建牆壁（這不是畢達哥拉斯三元組可能）。在查看樂高於2019年初發布的10264街角汽車維修站的說明之前，我不知道有任何官方套裝使用了“三倍數” 。
這個套裝的一個很明顯的地方是車庫前立面的很大一部分是以 45 度角建造的。加油站上方還有一個遮陽篷，該遮陽篷垂直於該立面（最終與底座成 45 度角）。
如果我們深入研究這個套裝的說明書，我們會看到傾斜部分是建立在一個 2×16 板上的，該板使用 1×2 圓板以 45 度角連接。傾斜部分的總長度為 17 個顆粒，在兩個連接點的顆粒之間進行測量。
如果我們將此視為直角三角形的斜邊，則其他兩側各有 12 個顆粒長（如果您想象從兩個連接點處的顆粒沿樂高網格繪製的水平和垂直線，它們將相交顆粒在每個方向上相距 12 個顆粒）。
現在我們來看，(12,12,17) 嚴格來說不是勾股定理三元組。但是直角三角形的斜邊的長度是 √(12² + 12²) = 16.97，它足夠接近 17。1×2 圓板就像鉸鏈一樣，提供牢固的連接，同時允許一點回旋的餘地。
“三倍數”也以 45 度角（相對於底板）連接遮陽篷的方式發揮作用。但是這裡的數學是如何工作的並不那麼明顯。仔細觀察，我們看到遮陽篷是 16×10 顆粒寬，圓角。它使用鉸鏈組件連接到車庫的斜牆上，該鉸鏈組件由頂部有一根手指的 1×3 光面磚（連接到斜牆上）和帶有兩個圓角 1×2 板（併入遮陽篷本身）組成）。
遮陽篷由使用十字軸和軸連接器創建的兩個垂直柱支撐。這些柱子將遮陽篷連接到加油站，但加油站本身僅在一個位置與基地相連。這樣的搭建，就顯得更加的合理了。
加油站島有兩個 4×4 圓板，它們相隔 6 個顆粒（中心到中心），但鑑於沒有“三倍數”，最大的 6 個，因此無法以 45 度角連接它們數字。所以設計師選擇將加油站島的一側連接到一個帶孔的 2×2 光面板上（這連接到 4×4 圓板的底部形成一個轉盤），另一側不連接（它只是休息在 2×2 黑色轉盤底座上）。
我們可以看看實際有連接的那一面，並嘗試找出其中涉及的數學原理。連接點距離連接傾斜立面末端的線正好 13.5 個顆粒。這可以分為兩個“接近三元組”。首先，我們從代表原始“三倍數”（12,12,17）的直角三角形開始。
如果我們從與最長邊（或斜邊）相對的頂點（角）畫一條線，使其與斜邊成直角相交，我們將得到兩個尺寸相同的直角三角形（8.5,8.5,12）。這也是一個“近三倍”，所以我們可以認為 13.5 中的 8.5 是這個較小直角三角形的一條腿（較短的邊）。剩下的 5 個是另一個“三倍數”（3.5,3.5,5）的斜邊（最長邊）。很酷，對吧！？
使用圓盤零件製作出一個圓形
轉盤也可以以其他有趣的方式使用，例如創建圓形。2022年4月，樂高宣佈為其植物系列產品線新增兩款產品。下面我就以今年剛剛發佈的10311 蘭花套裝為例。各位肯定想不到，在一個有花的套裝中可能會涉及到什麼樣的數學？
如果你猜對了我說的是花瓶，當然可以加分！乍看之下，凹槽花瓶是如何組合在一起的，它的完美圓形和雙斜面連在一起，幾乎沒有任何間隙，它們之間幾乎是奇蹟般的存在。
當我看到蘭花套裝的公告時，花瓶是第一個引起我注意的東西（儘管我不得不承認它的其餘部分也很整潔）。但是使用樂高創建圓形並不是那麼容易。蘭花套裝的設計師Mike Psiaki提出了一個非常聰明的方法，它主要依賴於 8×8 圓盤的數學特性進行創作，現在我們看看他是怎麼做到的。
8×8 圓盤是樂高目錄中一個相對較新的零件，加入了它的較小兄弟姐妹（例如 4×4 和 6×6 圓盤）的行列裡。但是關於 8×8 圓板的一個巧妙之處在於，其外圍的所有顆粒與板邊緣的距離大致相同，這包括沿對角線的顆粒。這不適用於 6×6 圓板，其中沿對角線的顆粒從板的邊緣稍微插入一點。
為了理解原理，讓我們考慮兩個顆粒之間的對角線距離，它是顆粒尺寸（0.8 釐米）的 √2 倍，等於 1.13 釐米。在 6×6 圓板上，沿對角線的最外側顆粒之間的距離為 3 x 1.13 = 3.39 cm = 4.24 顆粒，而在 8×8 圓板上它是 5 x 1.13 = 5.65 cm = 7.06 顆粒，非常接近沿水平軸和垂直軸的最外側顆粒之間的 7 顆粒間距。
這使我們能夠做的是沿著 8×8 圓板的外邊緣放置機械孔磚，並在所有側面突出大約相同數量的機械銷零件。當然，沿對角線的 1×1 機械孔磚積木需要旋轉 45 度角。8×8 圓盤帶有 8 個32054 十字軸孔長栓，這只是使用轉盤堆疊和旋轉的四層之一，以構成花瓶的核心。
偶數層（第 2、4 層）的旋轉角度是 45 度或 22.5 度的一半。這會將偶數層上的八個機械孔磚的基座位置恰好位於奇數層上的八個機械孔磚的基座位置之間。當所有四層都堆疊起來時，我們總共有 16 列機械孔磚的基座，沿著核心的圓周均勻分佈。
16 個機械件1×7 提升臂件可以連接到這些機械銷上，這樣我們就可以連接創建凹槽外觀所需的雙斜面件。請注意，在頂部添加 4×4 通心粉光面板時，每層的高度為 5 個板，這確保了堆疊層時機械孔磚的基座之間的正確垂直間距。
為什麼我們甚至需要機械孔臂零件？為什麼不使用 SNOT 積木，或者不是科技件積木並將雙坡塊直接連接到它們之上？我們再次需要一些數學邏輯來幫助解釋這一點。8×8圓板的直徑為8個螺柱或20個板。將機械孔臂（與普通磚的高度一樣厚）連接在兩側，總直徑變為 20+3+3=26 個板。
核心的周長現在是 π x 26 = 81.64 個板。現在將它除以 16，你得到 5.1 個板，它非常接近每個雙斜塊的 5 個板（2 個顆粒）寬度。現在我們看到提升臂部件如何幫助使內核足夠大以將雙斜度部件連接到周圍，它們之間幾乎沒有間隙
結束語
小編希望本文能成功激發您對隱藏在您使用樂高構建的所有東西背後的數學的興趣。只要你不介意用一點枯燥的數學來解決搭建過程中的難題，你可以從官方樂高套裝中學到很多很酷的技術，當你設計自己的 MOC 時，它們甚至可以派上用場。說到 MOC，我希望在後續文章中至少介紹其中的一些。同時，如果官方樂高套裝中使用的任何技術仍然讓您摸不著頭腦，請隨時在此處發表評論。最後，祝各位都有一個能讓自己身心愉悅的搭建體驗！
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