【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮


3樓貓 發佈時間:2022-06-15 14:35:05 作者:Chillax Language

#-- 最後更新於: 2020年4月8日 --#


 
#-- 以下更新於: 2020年4月5日 --#

昨天的停服一人一張無限十連,我來蹭個熱度。

觀前提示:本文較為適合已經有明確抽取目標的玩家,如果是入坑的第一個無限十連,可選陣容較多,本文用處相對較小。

 

本文預設的是沒有使用#騷操作!論如何完美開局!#中提到的蹭保底的方法,即每次抽取只受概率影響。
(注,本方法在2020年5月28日的更新後已經失效,請勿參考)

假設十連抽取中的每一抽都是獨立事件,按照官方提供的概率4.2%計算;假若抽到SSR英雄,則獲得每一種英雄的概率一致,即1/20(換句話說,不存在“倉檢”的情況)。

 

一、抽到SSR的個數

首先對抽取獲得SSR的個數進行計算:顯然在上述前提下,每一次10連獲得SSR的個數符合二項分佈B(10, 0.042),對於獲得的SSR的個數k(k = 0, 1, …, 10),滿足下式:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第1張
得到下表:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第2張#表1:十連獲得SSR個數的概率與期望

注:“累計概率”與“累計期望”是指獲得大於等於對應個數SSR的概率/期望,例如獲得4個及以上SSR的期望是1877.2。

 

從表中可以看到,理論上平均每150次即可抽到一次3SSR,1900次抽到一次4SSR,近4萬次抽到一次5SSR,約一百萬次抽到一次6SSR……

考慮時間成本(在我這裡測試使用連點器約1s進行一次抽取),將目標設置為4SSR(1877次,32min)或5SSR(36270次,11hr)較為合理(事實上,還需要考慮抽到的SSR是否需要,這將在下一節考慮)

 

二、抽到的陣容

無限十連顯然不能僅考慮SSR的個數,還應考慮抽到的SSR是否符合自己的需求。

首先考慮單恆晶且其他6個出戰英雄均未炫彩加的情況:在抽到英雄為SSR的前提下,抽到的是陣容需要英雄的概率是6/20即0.3。則抽到k(k = 3, 4, 5)個SSR英雄且其中有j(j = 0, 1, …, k)個是陣容需要的概率為:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第3張
得到下表:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第4張
#表2:十連獲得陣容需要(20取6)SSR個數的概率與期望

注:“累計概率”與“累計期望”是指在抽到指定SSR個數的前提下,獲得大於等於對應個數陣容需要SSR的概率/期望。例如在抽到4個SSR的前提下,獲得3個及以上陣容需要SSR的期望是23651.8。

 

從表中可以看到,在考慮抽到的SSR為陣容需要的情況下,抽取次數的期望大幅提高:理論上,平均抽取5625次,才能抽到3SSR且均為陣容需要;平均抽取23652次,才能抽到3個陣容需要SSR以及1個其他SSR;平均抽取24萬次,才能抽到4SSR且均為陣容需要。

故如果不考慮抽取非陣容需要的SSR用來開圖鑑的話,較為理想的情況應該是抽取3個SSR且均為陣容需要(5625次,94min),或抽取4個SSR其中有3個陣容需要(23652次,6.5hr),其中前者適合使用簡單連點器的情況,後者適合使用能夠判斷SSR個數的腳本(在本文最後會簡單介紹)的情況;

如果不願花費時間/失去耐心/臉黑,也可以考慮4SSR其中2個陣容需要(5683次,95min)或3SSR其中2個陣容需要(703次,12min)

 

再附一張雙恆晶且其他5個出戰英雄均未炫彩加的情況:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第5張#表3:十連獲得陣容需要(20取5)SSR個數的概率與期望

 

三、一種簡單的無限十連腳本

使用官方提供的簡單連點器只支持在≥3SSR的情況下停止(遊戲內部會彈出提示框),無法具體區分3SSR、4SSR與5SSR,這樣會導致如果目標為抽取4SSR時,還需要手動判定抽到的是不是4SSR。事實上,這樣的時間成本是巨大的,根據表1的計算,每13次3SSR中才會有1次4SSR。

可以使用安卓模擬器與按鍵精靈來解決這個問題(看到了我另一個帖子#關於使用腳本掛機刷金幣的可行性測試及一種具體實現#評論區中的建議,試了下按鍵精靈…真香):模擬點擊——判斷是否彈出提示框——判斷提示框中數字——決定繼續抽/停下來看看。

按照上述思路編寫的腳本運行中無明顯問題,只需考慮網絡連接出錯的情況(同樣是一個彈窗),目前已穩定運行6.6萬抽。

 

四、一次抽取實錄

(本來是打算抽十萬再發這篇帖子的,但是正好趕上停服補償,就先發出來,之後再補)

使用前述腳本思路,從1553抽開始記錄,目前已抽至66554抽,共6.5萬條數據記錄。

SSR出現次數記錄:

3SSR:421次

4SSR:40次

5SSR:2次

具體情況:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第6張表4:實際抽取時4SSR及以上的記錄

表中數據僅為我抽取時的情況,可以用它模擬自己抽取時什麼時候停手。

 

最後最重要的一點:本帖中所有計算得到的期望僅為理論值,隨著抽取次數的增加平均抽取次數會逐漸趨向於穩定,實際操作中根據臉色會上下浮動。這一點從表4中也可以看出。

 

#-- 以下更新於: 2020年4月8日 --#

對本文表中所謂的“期望”做一個進一步說明:

表中期望的計算方法為(1/對應概率)。例如若某事件A發生概率為0.1,則(我這裡定義的)期望為10,可以理解為,當進行了足夠多的實驗後,平均每10次將會發生一次A事件。可以使用伯努利大數定律很容易地證明這一點。

但是上述結論的前提是“足夠多的實驗”,如果只考慮有限次實驗的情況(例如無限十連的抽取次數),僅僅使用我定義的“期望”就無法準確描述了。

 

這裡我就又引入了一個公式,用來更加準確地描述抽取次數與總體概率的關係:
【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第7張
上式中,E為期望次數,p_kE為抽取kE次發生至少一次對應事件的概率,其中k為任意正數。另外,本式要求事件發生概率儘量小(一般來說,p≤0.1且k≥0.1可保證誤差不超過5%)。

利用*式可以得到下面的表格:

【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析|邂逅在迷宮 - 第8張#表5 抽取次數倍率與事件發生至少一次概率的關係

舉個簡單的例子,從表1可知:抽取得到至少4個SSR的期望抽取次數為1877.2,再利用表5中倒數第二行的數據,可以得到結論:當抽取次數達到1877.2*2.9957=5642次時,有95%的概率至少1次抽到至少4個SSR。

其實這一部分分析對於決定無限十連抽到什麼程度停手沒什麼影響(臉再黑,只要手勤快就一定能拿到自己想要的。比如我肝了8萬多發混了4個自己用得上的SSR)。不過這一段可以用到我之後的攻略中:

* 【數據黨】什麼時候用蓋亞的鑰匙比較穩?——限定池中鑽石投入與產出的關係分析(上)
* 【數據黨】什麼時候用蓋亞的鑰匙比較穩?——限定池中鑽石投入與產出的關係分析(中)
* 【數據黨】什麼時候用蓋亞的鑰匙比較穩?——限定池中鑽石投入與產出的關係分析(下)
* 【數據黨】無限十連抽到什麼時候停止?——無限十連抽取結果的期望分析
* 【數據黨】元素精華和狗糧應該先給哪個老婆用?——英雄屬性與英雄品質及等級的關係分析
* 【數據黨】我攢的恆晶能換多少個媳婦兒?——恆晶英雄投入與產出的關係分析



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